解：存在，如图，过点M作

M E ⊥ y

轴于点E，

∴ $M E ∥ O B$ ，

∴ $∠ A E M = ∠ A O B = 90 ° ， ∠ A M E = ∠ A B O$ ，

∴ $△ A E M ∽ △ A O B$ ，

∴ $A E ： A O = A M ： A B = M E ： O B$ ，

$R t Δ A O B$ 中， $O A = 2 ， O B = 4$ ，

∴ $A B = 2 \sqrt{5}$ ，

∴ $\frac{A E}{2} = \frac{A M}{2 \sqrt{5}} = \frac{t}{4}$ ，

∴ $A E = \frac{1}{2} t ， A M = \frac{\sqrt{5}}{2} t$ .

根据题意，需要分两种情况讨论：

① $A M = M N$ 时，如图，

此时 $\frac{\sqrt{5}}{2} t = - t^{2} + 4 t (0 < t < 4)$ ，

解得 $t = \frac{8 - \sqrt{5}}{2}$ 或t=0（舍），

∴ $A M = \frac{8 \sqrt{5} - 5}{4}$ ，

∴ $A P = A M = \frac{8 \sqrt{5} - 5}{4}$ ，

∵ $A P ∥ M N$ ，

∴点P在y轴上，

∴ $O P = 2 + \frac{8 \sqrt{5} - 5}{4} = \frac{8 \sqrt{5} + 3}{4}$ ，

∴P $(0 ， \frac{8 \sqrt{5} + 3}{4})$ ；

②当 $A M = A N$ 时，如图，此时 $A P$ 与 $M N$ 互相垂直平分，设 $A P$ 与 $M N$ 交于点F，

∴ $M F = \frac{1}{2} M N = \frac{1}{2} (- t^{2} + 4 t)$ ，

∵ $M F = A E = \frac{1}{2} t$ ，

∴ $\frac{1}{2} (- t^{2} + 4 t) = \frac{1}{2} t$ ，

解得 $t = 3$ 或 $t = 0$ （舍），

∴ $A P = 2 t = 6$ ，

∴P $(6 ， 2)$ .

综上，存在点P，使得以点A，M，N，P为顶点，以 $A M$ 为边的四边形是菱形，此时P $(0 ， \frac{8 \sqrt{5} + 3}{4})$ 或 $(6 ， 2)$ .

第26章 二次函数 章末测试 华师大版九年级下册同步练习

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