解：①过点Q作

Q S ⊥ A M

于S

由（1）得： $A Q = C H = 6$

在 $R t △ A Q S$ 中， $∠ Q A S = 30 °$

∴ $A S = \frac{\sqrt{3}}{2} A Q = 3 \sqrt{3}$

平移扫过面积： $S_{1} = A D \cdot A S = 3 \times 3 \sqrt{3} = 9 \sqrt{3}$

旋转扫过面积： $S_{2} = \frac{50 °}{360 °} \cdot π \cdot P Q^{2} = \frac{50 °}{360 °} \cdot π \cdot 6^{2} = 5 π$

故边PQ扫过的面积： $S = S_{1} + S_{2} = 9 \sqrt{3} + 5 π$

②运动分两个阶段：平移和旋转

平移阶段：

$K H = B H - B K = 3 - (9 - 4 \sqrt{3}) = 4 \sqrt{3} - 6$

$t_{1} = \frac{K H}{v} = (4 \sqrt{3} - 6) s$

旋转阶段：

由线段长度得： $P M = 2 D M$

取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作 $G T ⊥ D M$ 于T

设 $∠ K D H = θ$ ，则 $∠ G H M = 2 θ$

在 $R t △ D K H$ 中：

$K H = B H - B K = 3 - (9 - 4 \sqrt{3}) = 4 \sqrt{3} - 6 = 2 \sqrt{3} \times (2 - \sqrt{3})$

$D K = \sqrt{D H^{2} + K H^{2}} = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(4 \sqrt{3} - 6)}^{2}} = 4 \sqrt{3} \times \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

设 $t = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$ ，则 $K H = 2 \sqrt{3} t^{2}$ ， $D K = 4 \sqrt{3} t$ ， $D H = 2 \sqrt{3}$

$\tan θ = \frac{K H}{D H} = t^{2}$ ， $\sin θ = \frac{K H}{D K} = \frac{t}{2}$ ， $\cos θ = \frac{D H}{D K} = \frac{1}{2 t}$

∵DM为直径

∴ $∠ D G M = 90 °$

在 $R t △ D G M$ 中： $D G = D M \cdot \cos θ = 4 \sqrt{3} \times \frac{1}{2 t} = \frac{2 \sqrt{3}}{t}$

在 $R t △ D G T$ 中： $G T = D G \cdot \sin θ = \frac{2 \sqrt{3}}{t} \times \frac{t}{2} = \sqrt{3}$

在 $R t △ H G T$ 中： $\sin 2 θ = \frac{G T}{G H} = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}} = \frac{1}{2}$

∴ $2 θ = 30 °$ ， $θ = 15 °$

PQ转过的角度： $30 ° - 15 ° = 15 °$

$t_{2} = \frac{15 °}{5 °} = 3$ s

总时间： $t = t_{1} + t_{2} = 4 \sqrt{3} - 6 + 3 = (4 \sqrt{3} - 3) s$

③ $C F = \frac{60 - 12 d}{9 - d}$

华师大版备考2023中考数学二轮复习 专题29 圆的综合问题二

华师大版备考2023中考数学二轮复习专题29 圆的综合问题二