①如图，过点D作

D H ⊥ A C

于点H，

C M ⊥ A B

于点M，

设圆的半径为r，则 $A E = A D = A F = r$ ，

∵ $∠ D A H = ∠ B A C ， ∠ A H D = ∠ A C B = 90 °$ ，

∴ $△ A D H ∼ △ A B C$ ，

∴ $\frac{D H}{B C} = \frac{A D}{A B} = \frac{A H}{A C}$ ，即 $\frac{D H}{3} = \frac{r}{5} = \frac{A H}{4}$ ，

∴ $D H = \frac{3}{5} r$ ， $A H = \frac{4}{5} r$ ，

∴ $H F = A F - A H = \frac{1}{5} r$ ，

∴ $D F = \sqrt{D H^{2} + H F^{2}} = \frac{\sqrt{10}}{5} r$ ，

∵ $A D$ 平分 $∠ F A E$ ，

∴ $∠ F A E = 2 ∠ B A C$ ，

∵ $∠ F A E = 2 ∠ F D C$ ，

∴ $∠ B A C = ∠ F D C$ ，

∵ $∠ A C D = ∠ D C F$ ，

∴ $△ A C D ∼ △ D C F$ ，

∴ $\frac{A C}{C D} = \frac{A D}{D F}$ ，即 $\frac{4}{C D} = \frac{r}{\frac{\sqrt{10}}{5} r}$ ，

∴ $C D = \frac{4 \sqrt{10}}{5}$ ，

∵ $s i n B = \frac{A C}{A B} = \frac{4}{5}$ ，

∴ $C M = B C \cdot s i n B = \frac{12}{5}$ ，

∴ $D M = B D - B M = 5 - r - \frac{9}{5} = \frac{16}{5} - r$ ，

∵ $C M^{2} + D M^{2} = C D^{2}$ ，

∴ ${(\frac{12}{5})}^{2} + {(\frac{16}{5} - r)}^{2} = {(\frac{4 \sqrt{10}}{5})}^{2}$ ，

解得： $r = \frac{12}{5}$ 或4（舍去），

即圆A的半径长为 $\frac{12}{5}$ ；

② $\frac{128}{25}$

人教版备考2023中考数学二轮复习 专题19 相似三角形

人教版备考2023中考数学二轮复习专题19 相似三角形