解：

∵ $a = 2$ ，

∴反比例函数解析式为 $y = \frac{8}{x}$ ，

联立 ${\begin{array}{l} y = \frac{8}{x} \\ y = \frac{1}{3} x \end{array}$ ，

解得： ${\begin{array}{l} x = 2 \sqrt{6} \\ y = \frac{2 \sqrt{6}}{3} \end{array}$ 或 ${\begin{array}{l} x = - 2 \sqrt{6} \\ y = - \frac{2 \sqrt{6}}{3} \end{array}$ ，

∴直线 $O B$ 与双曲线 $y = \frac{8}{x}$ 交于 $(2 \sqrt{6} ， \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ 和 $(- 2 \sqrt{6} ， - \frac{2 \sqrt{6}}{3})$ ，

设点 $C (m ， \frac{1}{3} m)$ ，则点 $D (m ， \frac{8}{m})$ ，

当 $0 < m < 2 \sqrt{6}$ 或 $- 2 \sqrt{6} < m < 0$ 时，

∵ $S_{△ D C O} ： S_{△ D E O} = 1 ： 2$ ，

∴ $\frac{\frac{1}{2} \times (\frac{8}{m} - \frac{1}{3} m) \times m}{\frac{1}{2} \times \frac{8}{m} \times m} = \frac{1}{2}$ ，

解得： $m = \pm 2 \sqrt{3}$ ，

∴点C的坐标为 $(2 \sqrt{3} ， \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 或 $(- 2 \sqrt{3} ， - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ ；

当 $m > 2 \sqrt{6}$ 或 $m < - 2 \sqrt{6}$ 时，

∵ $S_{△ D C O} ： S_{△ D E O} = 1 ： 2$ ，

∴ $\frac{\frac{1}{2} \times (\frac{1}{3} m - \frac{8}{m}) \times m}{\frac{1}{2} \times \frac{8}{m} \times m} = \frac{1}{2}$ ，

解得： $m = \pm 6$ ，

∴点C的坐标为 $(6 ， 2)$ 或 $(- 6 ， - 2)$ ；

综上所述：点C的坐标为 $(2 \sqrt{3} ， \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 或 $(- 2 \sqrt{3} ， - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ 或 $(6 ， 2)$ 或 $(- 6 ， - 2)$ ．

人教版备考2023中考数学二轮复习 专题14 反比例函数

人教版备考2023中考数学二轮复习专题14 反比例函数