解：∵

D E ∥ A C

，

$∴ △ B D E ∽ △ B A C$

$∴ \frac{B C}{B E} = \frac{A B}{B D} = \frac{A C}{D E}$

∴ $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{A C}{D E} = \frac{B C}{B E}$ .

∵ $\frac{S_{3}}{S_{2}} = \frac{B E}{C E}$ ，

∴ $\frac{S_{1} \cdot S_{3}}{S_{2}^{2}} = \frac{B C}{C E}$ .

又∵ $S_{1} \cdot S_{3} = \frac{9}{16} S_{2}^{2}$ ，

∴ $\frac{B C}{C E} = \frac{9}{16}$ .

设 $B C = 9 x$ ，则 $C E = 16 x$ .

∵CD平分 $∠ B C F$ ，

∴ $∠ E C D = ∠ F C D = \frac{1}{2} ∠ B C F$ .

∵ $∠ B C F = 2 ∠ C B G$ ，

∴ $∠ E C D = ∠ F C D = ∠ C B D$ .

∴ $B D = C D$ .

∵ $D E ∥ A C$ ，

∴ $∠ E D C = ∠ F C D$ .

∴ $∠ E D C = ∠ C B D = ∠ E C D$ .

∴ $C E = D E$ .

∵ $∠ D C B = ∠ E C D$ ，

∴ $△ C D B ∽ △ C E D$ .

∴ $\frac{C D}{C E} = \frac{C B}{C D}$ .

∴ $C D^{2} = C B \cdot C E = 144 x^{2}$ .

∴ $C D = 12 x$ .

如图，过点D作 $D H ⊥ B C$ 于H.

∵ $B D = C D = 12 x$ ，

∴ $B H = \frac{1}{2} B C = \frac{9}{2} x$ .

∴ $\cos ∠ C B D = \frac{B H}{B D} = \frac{\frac{9}{2} x}{12 x} = \frac{3}{8}$ .

浙教版备考2023年中考数学一轮复习79.比例与比例线段