解：连接BD，如图所示，

$∵ \overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{B D}$

∴BD=AC

∵点D为 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点，

∴ $\overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{B D}$ ，

∴ $\overset{⌢}{A C} = \overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{B D}$ ，

∴∠CAD=∠BAD=30°．

∵AB是半圆O的直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在Rt△ACG中， $t a n ∠ C A D = \frac{C G}{C A} ， s i n ∠ C A D = \frac{C G}{A G}$ ，

∴ $C A = \frac{C G}{t a n 30 °} ， A G = \frac{C G}{s i n 30 °}$ ，

∵ $C G = 2 \sqrt{3}$ ，

∴ $C A = 2 \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 6$ ， $A G = 4 \sqrt{3}$ ，

∴BD=CA=6，

$∴ S_{△ A C G} = \frac{1}{2} C G \cdot A C = 6 \sqrt{3}$ ，

在Rt△ABD中， $t a n ∠ B A D = \frac{B D}{A D} ，$

∴ $A D = \frac{B D}{t a n 30 °} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = 6 \sqrt{3} .$

∵DE∥BC，

∴△CAG∽△EAD，

∴ $\frac{S_{△ C A G}}{S_{△ E A D}} = (\frac{A G}{A D})^{2}$ ，

即 $\frac{6 \sqrt{3}}{S_{Δ E A D}} = \frac{4}{9}$ ，

∴ $S_{△ E A D} = \frac{27 \sqrt{3}}{2} .$

∴ $S_{阴影部分} = S_{△ E A D} - S_{△ A C G} = \frac{15 \sqrt{3}}{2}$ ．

浙教版备考2023年中考数学一轮复习68.切线的性质与判定