解：如图，过点

P

作

P H ⊥ A C

于

H

，

$∴ P H ∥ B C$ ，

$∴ △ A P H \sim △ A B C$ ，

$∴$ $\frac{P H}{B C} = \frac{A P}{A B}$ ，即 $\frac{P H}{3} = \frac{5 - t}{5}$ ，

解得 $P H =3 - \frac{3}{5} t$ ，

$∴ y = \frac{1}{2} A Q \cdot P H = \frac{1}{2} \times 2 t \cdot (3 - \frac{3}{5} t)$ ，即 $y = - \frac{3}{5} t^{2} +3 t (0< t <2)$ ，

若 $P Q$ 把 $△ A B C$ 面积平分，则 $S_{Δ A P Q} = \frac{1}{2} S_{Δ A B C}$ ，

∴ $- \frac{3}{5} t^{2} + 3 t = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times 3 \times 4$ ，

解得 $t = \frac{5 \pm \sqrt{5}}{2}$ ，

∵ $0< t <2$ ，
∴t= $\frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ ，

∴存在某一时刻t，使线段PQ恰好把 $Rt △ A C B$ 的面积平分，此时t的值为 $\frac{5 - \sqrt{5}}{2}$ ．

浙教版备考2023年中考数学一轮复习50.角平分线与线段垂直平分线