解：如图所示，过点C作

C K ⊥ C N

，交NR的延长线于点K，过点K作

K T ⊥ y

轴于点T，

∵ $y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$ ，当 $x = 0$ 时， $y = - \frac{1}{2}$ ，

∴ $C (0 ， - \frac{1}{2})$ ，

∴ $O C = \frac{1}{2}$ ，

∵ $F H ⊥ y$ 轴， $D E ⊥ y$ 轴，

∴ $∠ F H G = ∠ D E G = 90 °$ ，

∵点G为 $D F$ 的中点，

∴ $D G = F G$ ，

在 $△ F H G$ 和 $△ D E G$ 中，

${\begin{array}{l} ∠ F H G = ∠ D E G \\ ∠ H G F = ∠ D E G \\ F G = D G \end{array}$

∴ $△ F H G ≌ △ D E G$ （AAS），

∴ $H F = E D = 2$ ， $H G = E G = \frac{1}{2} H E$ ，

设直线OA的解析式为： $y = k x$ ，将点 $A (\frac{5}{2} ， \frac{21}{8})$ 代入得，

$\frac{5}{2} k = \frac{21}{8}$ ，

解得， $k = \frac{21}{20}$ ，

∴直线OA的解析式： $y = \frac{21}{20} x$ ，

当x=2时， $y = \frac{21}{20} \times 2 = \frac{21}{10}$ ，

∴ $F (2 ， \frac{21}{10})$ ， $H (0 ， \frac{21}{20})$ ，

∴ $H E = \frac{21}{10} - \frac{3}{2} = \frac{3}{5}$ ，

∴ $G E = \frac{1}{2} H E = \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$ ，

∵ $3 C P = 5 G E$ ，

∴ $C P = \frac{5}{3} G E = \frac{5}{3} \times \frac{3}{10} = \frac{1}{2}$ ，

∴ $P (0 ， 1)$ ，

∵ $A N ∥ y$ 轴， $P N ∥ x$ 轴，

∴ $N (\frac{5}{2} ， - 1)$ ，

∴ $P N = \frac{5}{2}$ ，

∵ $E (0 ， \frac{3}{2})$ ，

∴ $E P = \frac{3}{2} - (- 1) = \frac{5}{2}$ ，

设直线BP的解析式为 $y = m x + n$ ，则

${\begin{array}{l} \frac{1}{2} m + n = - \frac{3}{8} \\ n = - 1 \end{array}$ ，

解得， ${\begin{array}{l} m = \frac{5}{4} \\ n = - 1 \end{array}$ ，

∴直线BP的解析式为： $y = \frac{5}{4} x - 1$ ，

当 $x = \frac{5}{2}$ 时， $y = \frac{5}{4} \times \frac{5}{2} - 1 = \frac{17}{8}$ ，

∴点M的坐标为 $(\frac{5}{2} ， \frac{17}{8})$ ，

∴ $M N = \frac{17}{8} - (- 1) = \frac{25}{8}$ ，

∵ $\frac{P N}{M N} = \frac{\frac{5}{2}}{\frac{25}{8}} = \frac{4}{5}$ ， $\frac{D E}{E P} = \frac{2}{\frac{5}{2}} = \frac{4}{5}$ ，

∴ $\frac{P N}{M N} = \frac{D E}{E P}$ ，

∵ $∠ P N M = ∠ D E P = 90 °$ ，

∴ $△ P M N ∽ △ D P E$ ，

∴ $∠ P M N = ∠ D P E$ ，

∵ $∠ D P E + ∠ P D E = 90 °$ ，

∴ $∠ P M N + ∠ P D E = 90 °$ ，

∵ $∠ P M N + ∠ P D E = 2 ∠ C N R$

∴ $∠ C N R = 45 °$ ，

∵ $C K ⊥ C N$ ，

∴ $∠ N C K = 90 °$ ，

∴ $△ C N K$ 是等腰直角三角形，

∴CK=CN，

∵ $∠ C T K = ∠ N P C = 90 °$ ，

∴ $∠ K C T + ∠ C K T = 90 °$ ，

∵ $∠ N C P + ∠ K C T = 90 °$ ，

∴ $∠ C K T = ∠ N C P$ ，

在 $△ C K T$ 和 $△ N C P$ 中，

${\begin{array}{l} ∠ C T K = ∠ N P C \\ ∠ C K T = ∠ N C P \\ C K = N C \end{array}$

∴ $△ C K T ≌ △ N C P$ （AAS），

∴ $C T = P N = \frac{5}{2}$ ， $K T = C P = \frac{1}{2}$ ，

∴ $O T = C T - O C = 2$ ，

∴ $K (\frac{1}{2} ， 2)$ ，

设直线RN的解析式为： $y = e x + f$ ，将点 $K (\frac{1}{2} ， 2)$ ， $N (\frac{5}{2} ， - 1)$ 得，

${\begin{array}{l} \frac{1}{2} e + f = 2 \\ \frac{5}{2} e + f = - 1 \end{array}$ ，

解得， ${\begin{array}{l} e = - \frac{3}{2} \\ f = \frac{11}{4} \end{array}$ ，

∴直线RN的解析式为： $y = - \frac{3}{2} x + \frac{11}{4}$ ．

2022年全国中考数学真题分类汇编23 图形的变换（2）