解：如图，连接

A F

，过点

C

作

C H ⊥ A B

于

H

，

$R t △ A F C$ 中， $F C = \frac{1}{2} B C = 2$ ，

$∴$ $A F = \sqrt{A C^{2} - F C^{2}} = 4$ ，

$∵ S_{△ A B C} = \frac{1}{2} B C \cdot A F = \frac{1}{2} A B \cdot C H$ ，

$∴ H C = \frac{B C \cdot A F}{A B} = \frac{4 \times 4}{2 \sqrt{5}} = \frac{8 \sqrt{5}}{5}$ ，

$∵$ $D P ⊥ A B$ ，

$∴ △ A G D ∽ △ A H C$ ，

$∴ \frac{G D}{H C} = \frac{A D}{A C} = \frac{1}{2}$ ，

$∴ G D = \frac{1}{2} H C = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，

$R t △ G E D$ 中，

$G E = \sqrt{E D^{2} - G D^{2}} = \sqrt{2^{2} - {(\frac{4 \sqrt{5}}{5})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ ，

$R t △ A G D$ 中，

$A G = \sqrt{A D^{2} - G D^{2}} = \sqrt{{(\sqrt{5})}^{2} - {(\frac{4 \sqrt{5}}{5})}^{2}} = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，

$∴ t a n ∠ A D G = \frac{A G}{G D} = \frac{\frac{3 \sqrt{5}}{5}}{\frac{4}{5} \sqrt{5}} = \frac{3}{4}$ ，

$∵ E F ∥ A D$ ，

$∴ ∠ E M G = ∠ A D G$ ，

$∴ t a n ∠ E M G = \frac{E G}{M G} = \frac{3}{4}$ ，

$∴ M G = \frac{4}{3} G E = \frac{4}{3} \times \frac{2 \sqrt{5}}{5} = \frac{8 \sqrt{5}}{15}$ ，

$∴ M D = M G + G D = \frac{8 \sqrt{5}}{15} + \frac{4 \sqrt{5}}{5} = \frac{4 \sqrt{5}}{3}$ ，

$∵$ $△ D N F ∽ △ D M E$ ，

$∴ \frac{D N}{D M} = \frac{D F}{D E} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ ，

$∴ D N = \frac{\sqrt{5}}{2} D M = \frac{\sqrt{5}}{2} \times \frac{4 \sqrt{5}}{3} = \frac{10}{3}$ ．

2022年全国中考数学真题分类汇编23 图形的变换（1）