解：如图，过点

C

作

C F ⊥ y

轴于点

F

，

$∴ C F ∥ O D$ ，

$∵$ $\frac{C D}{D E} = \frac{1}{3}$ ，

$∴ \frac{O F}{O E} = \frac{C D}{D E} = \frac{1}{3}$ ，

$∵$ 直线 $y = x$ 向下平移 $a$ 个单位长度得到 $y = x - a$ ，根据图象可知 $a > 0$ ，

令 $x = 0$ ，得 $y = - a$ ，

令 $y = 0$ ，得 $x = a$ ，

$∴ E (0 ， - a)$ ， $D (a ， 0)$ ，

$∴ F (0 ， \frac{1}{3} a)$ ，

$∴ y_{c} = \frac{1}{3} a$ ，

$∵$ $y = x - a$ 与反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 在第一象限的图象交于点 $C$ ，

$∴ x_{c} = \frac{4}{\frac{1}{3} a} = \frac{12}{a}$ ，

将 $C (\frac{12}{a} ， \frac{1}{3} a)$ 代入 $y = x - a$ ，

得 $\frac{1}{3} a = \frac{12}{a} - a$ ，

解得 $a = 3$ 或 $a = - 3$ （舍去）．

2022年全国中考数学真题分类汇编10 反比例函数图像及性质