解：如图，

①∵点B（3，0）关于直线y＝﹣x的对称点是C（0，﹣3），

∵y＝（x﹣1）²﹣4，

∴D（1，﹣4），

∴ ${\begin{array}{l} 3 k + b = 0 \\ k + b = - 4 \end{array}$ ，

∴ ${\begin{array}{l} k = 2 \\ b = - 6 \end{array}$ ，

∴y＝2x﹣6，

由2x﹣6＝﹣x得，

x＝2，

当x＝2时，y＝﹣x＝﹣2，

∴F（2，﹣2），

∴直线CE的解析式为：y＝ $\frac{1}{2} x - 3$ ，

由x²﹣2x﹣3＝ $\frac{1}{2} x - 3$ 得，

∴x₁＝0（舍去），x₂＝ $\frac{5}{2}$ ，

当x＝ $\frac{5}{2}$ 时，y＝ $\frac{1}{2}$ × $\frac{5}{2}$ ﹣3＝﹣ $\frac{7}{4}$ ，

∴E（ $\frac{5}{2}$ ，﹣ $\frac{7}{4}$ ）；

②ME²+NE²＝MN²，理由如下：

（方法一）先证明：在坐标系中，直线y₁＝kx+b与直线y₂＝mx+n，当k•m＝﹣1，则y₁⊥y₂，

如图，

将y₁＝kx+b和y₂＝﹣ $\frac{1}{k}$ x+n平移到l₁和l₂，

取P（1，﹣ $\frac{1}{k}$ ），Q（﹣1，﹣k），

∴OH＝1，QH＝﹣k，OG＝1，PG＝﹣ $\frac{1}{k}$ ，

∵ $\frac{Q H}{O H} = \frac{O G}{P G}$ ＝﹣k，∠QHO＝∠PGO＝90°，

∴△QHO∽△OGP，

∴∠HQO＝∠POG，

∵∠HQO+∠QOH＝90°，

∴∠POG+∠QOH＝90°，

∴∠POQ＝90°，

∴上述命题得证，

由 ${\begin{array}{l} y = x^{2} - 2 x - 3 \\ y = 2 k x + k - \frac{3}{4} \end{array}$ 得，

x²﹣（2k+2）x﹣（k+ $\frac{9}{4}$ ）＝0，

∴x₁+x₂＝2k+2，x₁•x₂＝﹣（k+ $\frac{9}{4}$ ），

∴y₁+y₂＝2k•x₁+2k﹣ $\frac{3}{4}$ +2k•x₂+2k﹣ $\frac{3}{4}$ ＝4k²+6k﹣ $\frac{3}{2}$ ，

y₁•y₂＝（2k•x₁+2k﹣ $\frac{3}{4}$ ）•（2k•x₂+2k﹣ $\frac{3}{4}$ ）

＝4k²•x₁•x₂+2k•（k﹣ $\frac{3}{4}$ ）•（x₁+x₂）+（k﹣ $\frac{3}{4}$ ）²

＝4k²•（k+ $\frac{9}{4}$ ）+2k•（2k+2）•（k﹣ $\frac{3}{4}$ ）+（k﹣ $\frac{3}{4}$ ）²，

＝﹣7k²﹣ $\frac{9}{2}$ k+ $\frac{9}{16}$ ，

∵（y₁+ $\frac{7}{4}$ ）•（y₂+ $\frac{7}{4}$ ）+（x₁﹣ $\frac{5}{2}$ ）（x₂﹣ $\frac{5}{2}$ ）＝y₁•y₂+ $\frac{7}{4}$ （y₁+y₂）+ $\frac{49}{16}$ +x₁•x₂+ $\frac{5}{2}$ （x₁+x₂）+ $\frac{25}{4}$

＝﹣7k²﹣ $\frac{9}{2}$ k+ $\frac{9}{16}$ + $\frac{7}{4}$ （4k²+6k﹣ $\frac{3}{2}$ ）﹣（k+ $\frac{9}{4}$ ）+ $\frac{5}{2}$ •（2k+2）+ $\frac{25}{4}$

＝0，

∴ $\frac{(y_{1} + \frac{7}{4}) \cdot (y_{2} + \frac{7}{4})}{(x_{1} - \frac{5}{2}) \cdot (x_{2} - \frac{5}{2})}$ ＝﹣1，

∴k_ME•k_NE＝﹣1，

∴ME⊥NE，

∴ME²+NE²＝MN²，

方法（二）如图，

过点E作GH∥x轴，作MG⊥EH于G，作NH⊥EG于H，

∴NH＝y₂+ $\frac{7}{4}$ ，EH＝x₂﹣ $\frac{5}{2}$ ，EG＝ $\frac{5}{2}$ ﹣x₁，MG＝y₁+ $\frac{7}{4}$ ，

∴NH•MG﹣EG•EH＝（y₂+ $\frac{7}{4}$ ）•（y₁+ $\frac{7}{4}$ ）﹣（x₂﹣ $\frac{5}{2}$ ）•（ $\frac{5}{2}$ ﹣x₁）＝（y₁•y₂+ $\frac{7}{4}$ （y₁+y₂）+ $\frac{49}{16}$ +（x₁•x₂）﹣ $\frac{5}{2}$ （x₁+x₂）+ $\frac{25}{4}$

∵x₁+x₂＝2k+2，x₁•x₂＝﹣（k+ $\frac{9}{4}$ ），y₁+y₂＝4k²+6k﹣ $\frac{3}{2}$ ，y₁•y₂＝﹣7k²﹣ $\frac{9}{2}$ k+ $\frac{9}{16}$ ，

∴NH•MG﹣EG•EH＝（﹣7k²﹣ $\frac{9}{2}$ k+ $\frac{9}{16}$ ）+ $\frac{7}{4}$ （4k²+6k﹣ $\frac{3}{2}$ ）+ $\frac{49}{16}$ ﹣（k+ $\frac{9}{4}$ ）﹣ $\frac{5}{2}$ （2k+2）+ $\frac{25}{4}$ ＝0，

∴NH•MG＝EG•EH，

∴ $\frac{N H}{E G} = \frac{E H}{M G}$ ，

∵∠H＝∠G＝90°，

∴△NHE∽△EGM，

∴∠NEH＝∠GME，

∵∠GME+∠MEG＝90°，

∴∠NEH+∠MEG＝90°，

∴∠MEN＝90°，

∴ME²+NE²＝MN².

浙教版备考2023年中考数学一轮复习42.二次函数与一次函数