解：小明的猜想成立．

解法1：如图，设半径为 $n$ 的圆与直线 $y = n - 1$ 的交点为 $P$ $(x ， n - 1)$ ．

因为 $O P = n$ ，所以 $x^{2} + {(n - 1)}^{2} = n^{2}$ ，即 $x^{2} = 2 n - 1$ ，

所以 $n = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2}$ ，

所以 $y = n - 1 = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$ 上，小明的猜想成立．

解法2：设半径为 $n$ 的圆与直线 $y = n - 1$ 交点为 $P (x ， n - 1)$ ，

因为 $O P = n$ ，所以 $x^{2} + {(n - 1)}^{2} = n^{2}$ ，解得 $x = \pm \sqrt{2 n - 1}$ ，所以 $P (\pm \sqrt{2 n - 1} ， n - 1)$ ．

${\begin{array}{l} x = \pm \sqrt{2 n - 1} ， \\ y = n - 1 \end{array}$ ，消去 $n$ ，得 $y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$ ，

$∴$ 点在抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{2}$ 上，小明的猜想成立．

浙教版备考2023年中考数学一轮复习28.坐标与图形的性质