解：如图1，当

B^{'}

在第一象限时，

设直线BC的解析式为 $y ＝ k^{'} x ＋ b^{'}$ ，

${\begin{array}{l} b^{'} ＝ 2 \\ 4 k^{'} ＋ b^{'} ＝ 0 \end{array}$ ，

解得 ${\begin{array}{l} k^{'} = - \frac{1}{2} \\ b^{'} = 2 \end{array}$ ，

∴ $y = - \frac{1}{2} x + 2$ ，

设E（t， $- \frac{1}{2} t + 2$ ），

∴OE＝t，EH＝ $- \frac{1}{2} t + 2$ ，

∵D（0，−4），B（4，0），

∴OB＝OD，

∴∠ODB＝45°，

∵直线 $E B^{'}$ 与直线BP相交所成锐角为45°，

∴ $E B^{'} ∥ C D$ ，

由折叠可知， $O B^{'} = B O = 4$ ， $B E ＝ B^{'} E$ ，

在 $R t △ O H B^{'}$ 中， $B^{'} H = \sqrt{16 - t^{2}}$ ，

∴ $B^{'} E = \sqrt{16 - t^{2}} - (- \frac{1}{2} t + 2) = \sqrt{16 - t^{2}} + \frac{1}{2} t - 2$ ，

∴ $B E = \sqrt{16 - t^{2}} + \frac{1}{2} t - 2$

在Rt△BHE中， ${(\sqrt{16 - t^{2}} + \frac{1}{2} t - 2)}^{2} = {(4 - t)}^{2} + {(- \frac{1}{2} t + 2)}^{2}$ ，

解得 $t = \pm \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，

∵0≤t≤4，

∴t＝ $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$ ，

∴ $B^{'} (\frac{4 \sqrt{5}}{5} ， \frac{8 \sqrt{5}}{5})$ ；

如图2，当 $B^{'}$ 在第二象限， $∠ B G B^{'} ＝ 45 °$ 时，

∵∠ABP＝45°，

∴ $B^{'} G ∥ x$ 轴，

∵ $B^{'} E ＝ B O$ ，

∴四边形 $B^{'} O B E$ 是平行四边形，

∴ $B^{'} E ＝ 4$ ，

∴ $B^{'} (t - 4 ， - \frac{1}{2} t + 2)$ ，

由折叠可知 $O B = O B^{'} = 4$ ，

∴平行四边形 $O B E B^{'}$ 是菱形，

∴BE＝OB，

∴ $\sqrt{{(4 - t)}^{2} + {(- \frac{1}{2} t + 2)}^{2}} = 4$ ，

解得 $t = 4 + \frac{8 \sqrt{5}}{5}$ 或 $t = 4 - \frac{8 \sqrt{5}}{5}$ ，

∵0≤t≤4，

∴ $t = 4 - \frac{8 \sqrt{5}}{5}$ ，

∴ $B^{'} (- \frac{8 \sqrt{5}}{5} ， \frac{4 \sqrt{5}}{5})$ ；

综上所述： $B^{'}$ 的坐标为 $(\frac{4 \sqrt{5}}{5} ， \frac{8 \sqrt{5}}{5})$ 或 $(- \frac{8 \sqrt{5}}{5} ， \frac{4 \sqrt{5}}{5})$ ．

2022~2023学年中考数学一轮复习专题19二次函数综合问题（压轴）