解：①解：如图2-1，连接AM.

∵ $B G ⊥ C F$ ，

∴ $△ B G C$ 是直角二角形.

∴ $B M = C M = G M = \frac{1}{2} B C = 3$ .

∴点G在以点M为圆心，3为半径的圆上.

当A，G，M三点不共线时，由三角形两边之和大于箒三边得： $A G + G M > A M$ ，

当A，G，M三点共线时， $A G + G M = A M$ .

此时， $A G + G M$ 取最小值.在 $R t △ A B M$ 中， $A M = \sqrt{A B^{2} + B M^{2}} = 5$ .

∴ $A G + G M$ 的最小值为5.

②（求AF的方法一）如图2-2，过点M作 $M N ∥ A B$ 交FC于点N，

∴ $△ C M N ∽ △ C B F$ .

∴ $\frac{M N}{B F} = \frac{C M}{C B} = \frac{1}{2}$ .

设 $A F = x$ ，则 $B F = 4 - x$ ，

∴ $M N = \frac{1}{2} B F = \frac{1}{2} (4 - x)$ .

∵ $M N ∥ A B$ ，

∴ $△ A F G ∽ △ M N G$ ，

∴ $\frac{A F}{M N} = \frac{A G}{G M}$ ，

由①知 $A G + G M$ 的最小值为5、即 $A M = 5$ ，

又∵ $G M = 3$ ，

∴ $A G = 2$ .

∴ $\frac{x}{\frac{1}{2} (4 - x)} = \frac{2}{3}$ ，解得 $x = 1$ ，即 $A F = 1$ .

（求AF的方法二）

如图2-3，过点G作 $G H ∥ A B$ 交BC于点H.

∴ $△ M H G ∽ △ M B A$ .

∴ $\frac{G M}{A M} = \frac{G H}{A B} = \frac{M H}{M B}$ ，

由①知 $A G + G M$ 的最小值为5，即 $A M = 5$ ，

又∵ $G M = 3$ ，

∴ $\frac{3}{5} = \frac{G H}{4} = \frac{M H}{3}$ .

∴ $G H = \frac{12}{5}$ ， $M H = \frac{9}{5}$ .

由 $G H ∥ A B$ 得 $△ C H G ∽ △ C B F$ ，

∴ $\frac{G H}{F B} = \frac{C H}{C B}$ ，即 $\frac{\frac{12}{5}}{F B} = \frac{3 + \frac{9}{5}}{6}$ ，

解得 $F B = 3$ .

∴ $A F = A B - F B = 1$ .

由（1）的结论可得 $\frac{A F}{D E} = \frac{A E}{D C}$ .

设 $D E = y$ ，则 $A E = 6 - y$ ，

∴ $\frac{1}{y} = \frac{6 - y}{4}$ ，

解得 $y = 3 + \sqrt{5}$ 或 $3 - \sqrt{5}$ .

∵ $0 < 3 + \sqrt{5} < 6$ ， $0 < 3 - \sqrt{5} < 6$ ，

∴ $D E = 3 + \sqrt{5}$ 或 $D E = 3 - \sqrt{5}$ .

2022~2023学年中考数学一轮复习专题18相似综合（压轴）