解：①∵AB=10，CD=6，

∴在（1）的结论中有AO=OB=5，CH=HD=3，

∴在Rt△OCH中， $O H = \sqrt{O C^{2} - C H^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$ ，

同理利用勾股定理，可求得 $B C = \sqrt{10}$ ， $A C = 3 \sqrt{10}$ ，

∴BH=OB-OH=5-4=1，HA=OA+OH=4+5=9，即HE=BH+BE，

在Rt△ECH中， $E C^{2} = H C^{2} + H E^{2} = 3^{2} + {(1 + B E)}^{2}$ ，

∵CF是⊙O的切线，

∴∠OCB=90°，

∴在Rt△ECO中， $E C^{2} = O E^{2} - O C^{2} = {(O B + B E)}^{2} - 5^{2} = {(5 + B E)}^{2} - 5^{2}$ ，

∴ ${(5 + B E)}^{2} - 5^{2} = 3^{2} + {(1 + B E)}^{2}$ ，

解得： $B E = \frac{5}{4}$ ，

∴ $A E = A B + B E = 10 + \frac{5}{4} = \frac{45}{4}$ ，

②过F点作FP⊥AB，交AE的延长线于点P，如图，

∵∠BAD=∠CAB，∠CHA=90°=∠P，

∴△PAF∽△HAC，

∴ $\frac{P F}{H C} = \frac{A P}{H A}$ ，即 $\frac{P F}{3} = \frac{A P}{9}$ ，

∴ $3 P F = A P$ ，

∵∠PEF=∠CEH，∠CHB=90°=∠P，

∴△PEF∽△HEC，

∴ $\frac{P E}{H E} = \frac{P F}{H C}$ ，即 $\frac{P A - A E}{H B + B E} = \frac{P F}{3}$ ，

∵HB=1， $B E = \frac{5}{4}$ ， $A E = \frac{45}{4}$ ， $3 P F = A P$ ，

∴ $\frac{3 P F - \frac{45}{4}}{1 + \frac{5}{4}} = \frac{P F}{3}$ ，

解得： $P F = 5$ ，

∴ $S_{△ A E F} = \frac{1}{2} \times A E \times P F = \frac{1}{2} \times \frac{45}{4} \times 5 = \frac{225}{8}$ ，

故△AEF的面积为 $\frac{225}{8}$ .

2023年春季湘教版数学九年级下册第二章 《圆》单元检测B

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