解：∵抛物线y＝

- \frac{1}{4}

x²+x+3，

∴抛物线对称轴为直线x＝﹣ $\frac{1}{2 \times (- \frac{1}{4})}$ ＝2，

∵点Q在抛物线的对称轴上，

∴设Q（2，t），设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，

则GQ＝3﹣t，CG＝2，∠CGQ＝90°，

①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图，

则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，

∴∠COP+∠OCQ＝90°，

又∵四边形OCPD是矩形，

∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，

∴∠PCQ+∠OCQ＝90°，

∴∠PCQ＝∠COP，

∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝ $\frac{C P}{O C}$ ＝ $\frac{4}{3}$ ，

∴ $\frac{G Q}{C G}$ ＝tan∠PCQ＝ $\frac{4}{3}$ ，

∴ $\frac{3 - t}{2}$ ＝ $\frac{4}{3}$ ，

解得：t＝ $\frac{1}{3}$ ，

∴Q（2， $\frac{1}{3}$ ）；

②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，

∵点O与点O′关于直线CQ对称，

∴CQ垂直平分OO′，

∴∠OCQ＝∠DCQ，

∵GH//OC，

∴∠CQG＝∠OCQ，

∴∠DCQ＝∠CQG，

∴CK＝KQ，

∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH//OC//PD，

∴点K是CD的中点，

∴K（2， $\frac{3}{2}$ ），

∴GK＝ $\frac{3}{2}$ ，

∴CK＝KQ＝ $\frac{3}{2}$ ﹣t，

在Rt△CKG中，CG²+GK²＝CK²，

∴2²+（ $\frac{3}{2}$ ）²＝（ $\frac{3}{2}$ ﹣t）²，

解得：t₁＝1（舍去），t₂＝﹣1，

∴Q（2，﹣1）；

③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点M，

∵点O与点O′关于直线CQ对称，

∴CQ垂直平分OO′，

∴∠OCM＝∠O′CM，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，

∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，

∴△O′CK∽△DCO，

∴ $\frac{O^{^{'}} K}{O D}$ ＝ $\frac{C K}{C O}$ ＝ $\frac{C O^{^{'}}}{C D}$ ，即 $\frac{O^{^{'}} K}{4}$ ＝ $\frac{C K}{3}$ ＝ $\frac{3}{5}$ ，

∴O′K＝ $\frac{12}{5}$ ，CK＝ $\frac{9}{5}$ ，

∴OK＝OC+CK＝3+ $\frac{9}{5}$ ＝ $\frac{24}{5}$ ，

∴O′（﹣ $\frac{12}{5}$ ， $\frac{24}{5}$ ），

∵点M是OO′的中点，

∴M（﹣ $\frac{6}{5}$ ， $\frac{12}{5}$ ），

设直线CQ的解析式为y＝k′x+b′，

则 ${\begin{array}{l} - \frac{6}{5} k^{'} + b^{'} = \frac{12}{5} \\ b^{'} = 3 \end{array}$ ，

解得： ${\begin{array}{l} k^{'} = \frac{1}{2} \\ b^{'} = 3 \end{array}$ ，

∴直线CQ的解析式为y＝ $\frac{1}{2}$ x+3，

当x＝2时，y＝ $\frac{1}{2}$ ×2+3＝4，

∴Q（2，4）；

综上所述，点Q的坐标为（2， $\frac{1}{3}$ ）或（2，﹣1）或（2，4）．

2023年春季湘教版数学九年级下册第一章 《二次函数》单元检测B

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