解：∵点B（4，0），C（0，2），

∴OB=4，OC=2，

∴ $t a n ∠ O B C = \frac{O C}{O B} = \frac{1}{2}$ ，

设直线BC的解析式为 $y = k x + b_{1} (k \neq 0)$ ，

把点B（4，0），C（0，2）代入得：

${\begin{array}{l} 4 k + b_{1} = 0 \\ b_{1} = 2 \end{array}$ ，解得： ${\begin{array}{l} k = - \frac{1}{2} \\ b_{1} = 2 \end{array}$ ，

∴直线BC的解析式为 $y = - \frac{1}{2} x + 2$ ，

设点 $P (a ， - \frac{1}{2} a^{2} + \frac{3}{2} a + 2)$ ，则 $M (a ， - \frac{1}{2} a + 2)$ ，CF=a，

∴ $P M = (- \frac{1}{2} a^{2} + \frac{3}{2} a + 2) - (- \frac{1}{2} a + 2) = - \frac{1}{2} a^{2} + 2 a$ ，

若∠PCM=2∠OBC，过点C作CF∥x轴交PM于点F，如图甲所示，

图甲

∴∠FCM=∠OBC，即 $t a n ∠ F C M = t a n ∠ O B C = \frac{1}{2}$ ，

∴∠PCF=∠FCM，

∵ $P Q ∥ y$ 轴，

∴CF⊥PQ，

∴PM=2FM，

∴ $F M = - \frac{1}{4} a^{2} + a$ ，

∴ $\frac{- \frac{1}{4} a^{2} + a}{a} = \frac{1}{2}$ ，解得：解得：a=2或0（舍去），

∴点P的横坐标为2；

若∠PMC=2∠OBC，

∵∠PMC=∠BMN，

∴∠BMN=2∠OBC，

∵∠OBC+∠BMN=90°，

∴∠OBC=30°，与 $t a n ∠ O B C = \frac{O C}{O B} = \frac{1}{2}$ 相矛盾，不合题意，舍去；

若∠CPM=2∠OBC，如图乙所示，过点P作PG平分∠CPM，则∠MPG=∠OBC，

图乙

∵∠PMG=∠BMN，

∴△PMG∽△BMN，

∴∠PGM=∠BNM=90°，

∴∠PGC=90°，

∵PG平分∠CPM，即∠MPG=∠CPG，

∴∠PCM=∠PMC，

∴PC=PM，

∴ $- \frac{1}{2} a^{2} + 2 a = {\sqrt{a^{2} + (- \frac{1}{2} a^{2} + \frac{3}{2} a + 2 - 2)}}^{2}$ ，

解得： $a = \frac{3}{2}$ 或0（舍去），

∴点P的横坐标为 $\frac{3}{2}$ ；

综上所述，点P的横坐标为2或 $\frac{3}{2}$ ．

2023年春季北师版数学九年级下册第二章 《二次函数》单元检测A

2023年春季北师版数学九年级下册第二章《二次函数》单元检测A