解：存在，理由如下：

如下图所示，当DE为四边形 $D P E Q$ 的对角线时，

$∵$ 点D与点E关于点A对称，

$∴$ 点A为平行四边形 $D Q E P$ 的对称中心，

当P与B重合时，点 $Q$ 为 $B$ 关于 $A$ 的对称点，此时Q点坐标为 $(- 5 ， 0)$ .

②当DE为平行四边形 $D P E Q$ 的边时，

过点Q作 $Q F ⊥ x$ 轴于点F，过点E作 $y$ 轴的平行线，过点D作 $x$ 轴的平行线，两线交于一点M，

$∵$ 四边形 $D E P Q$ 是平行四边形，

$∴$ $D E // P Q ， D E ＝ P Q$ ，

此时容易证明 $△ P Q F$ 和 $△ D E M$ 全等，得出 $F Q ＝ E M ＝ 8$ ，即 $Q$ 点的纵坐标为 $- 8$ ，

把 $y ＝－ 8$ 代入 $y ＝－ x^{2} － 6 x － 5$ 得 $－ 8 ＝－ x^{2} － 6 x － 5$ ，

解得： $x_{1} = - 3 + 2 \sqrt{3}$ ， $x_{2} = - 3 - 2 \sqrt{3}$ ，

此时点 $Q$ 的坐标 $x_{1} = - 3 + 2 \sqrt{3}$ ， $x_{2} = - 3 - 2 \sqrt{3}$ ，

综上所述 $Q$ 点共有三个，坐标分别是 $Q_{1} (- 5 ， 0) ， Q_{2} (- 3 + 2 \sqrt{3} ， - 8) ， Q_{3} (- 3 - 2 \sqrt{3} ， - 8)$ .

（鲁教版）2022-2023学年度第一学期九年级数学3.3二次函数y=ax2的图像和性质 同步测试

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