解：猜想：FM=MH．

证明：①当点M与点A重合时，∠FMB=120°，MB与BQ的交点H与点B重合，有FM=MH．

②当点M与点A不重合时，

证法一：如图1，

连接FB并延长到G，使BG=BH，连接MG．

∵∠BAF=120°，AF=AB，

∴∠ABF=30°，

∴∠ABG=180°﹣30°=150°．

∵MH与六边形外角的平分线BQ交于点H，

∴∠CBQ= $\frac{1}{2}$ ×60°=30°，

∴∠MBH=∠ABC+∠CBQ=120°+30°=150°，

∴∠MBH=∠MBG=150°．

∵ ${\begin{cases} BH=BG \\ ∠ MBH= ∠ MBG \\ MB=MB \end{cases}$ ，

∴△MBH≌△MBG，

∴∠MHB=∠MGB，MH=MG，

∵∠AFM=∠BMH，∠HMB+∠MHB=30°，

∴∠AFM+∠MGB=30°，

∵∠AFM+∠MFB=30°，

∴∠MFB=∠MGB．

∴FM=MG=MH．

证法二：如图2，在AF上截取FP=MB，连接PM．

∵AF=AB，FP=MB，

∴PA=AM

∵∠A=120°，

∴∠APM= $\frac{1}{2}$ ×（180°﹣120°）=30°，

有∠FPM=150°，

∵BQ平分∠CBN，

∴∠MBQ=120°+30°=150°，

∴∠FPM=∠MBH，

由（1）知∠PFM=∠HMB，

∴△FPM≌△MBH．

∴FM=MH．

（华师大版）2022-2023学年九年级数学下册27.4 正多边形和圆 同步测试

（华师大版）2022-2023学年九年级数学下册27.4 正多边形和圆同步测试