解：①解：如图，

∵四边形 $A B C D$ 是平行四边形， $A B = A C = 5$ ， $B C = 6$ ，

∴ $A B ∥ C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $D C = A B = 5$ ， $A D = B C = 6$ ，

∴ $∠ G A E = ∠ C D E$ ， $∠ A G E = ∠ D C E$ ，

∴ $△ A G E ∽ △ D C E$ ，

∴ $\frac{A G}{D C} = \frac{A E}{D E}$ ，

∴ $A G \cdot D E = D C \cdot A E$ ，

∵ $A E = \frac{3}{2}$ ，

∴ $D E = A D - A E = 6 - \frac{3}{2} = \frac{9}{2}$ ，

∴ $\frac{9}{2} A G = 5 \times \frac{3}{2}$ ，

∴ $A G = \frac{5}{3}$ ，

∴ $A G$ 的长为 $\frac{5}{3}$ ．

②证明：∵ $A D ∥ B C$ ，

∴ $∠ E F N = ∠ C M N$ ，

∵ $E N = N C$ ，

在 $△ E N F$ 和 $△ C N M$ 中，

${\begin{array}{l} ∠ E F N = ∠ C M N \\ E N = C N \\ ∠ E N F = ∠ C N M \end{array}$

∴ $△ E N F ≌ △ C N M (A S A)$ ，

∴ $E F = C M$ ，

∵ $A E = \frac{3}{2}$ ， $A E = D F$ ，

∴ $D F = \frac{3}{2}$ ，

∴ $E F = A D - A E - D F = 3$ ，

∴ $C M = 3$ ，

∵ $B C = 6$ ，

∴ $B M = B C - C M = 3$ ，

∴ $B M = M C$ ，

∵ $A B = A C$ ，

∴ $A M ⊥ B C$ ．

2022年秋季北师版数学九年级上册第四章 《图形的相似》单元检测B

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