解：过点A作

A H ⊥ O B

于点H，则有

A H = 3 ， O H = 8

.

①如图2，当点C在第二象限内， $∠ A C B = ∠ C B O$ 时，设 $O B = t$

∵ $∠ A C B = ∠ C B O$ ，∴ $A C / / O B$ .

又∵ $A H ⊥ O B ， O C ⊥ O B$ ，

∴ $A H = O C = 3$ .

∵ $A H ⊥ O B ， A B ⊥ B C$ ，

∴ $∠ 1 + ∠ 2 = 90 ° ， ∠ 2 + ∠ 3 = 90 °$ ，

∴ $∠ 1 = ∠ 3$ ，

∴ $△ A H B ∽ △ B O C$ ，∴ $\frac{A H}{B O} = \frac{H B}{O C}$ ，

∴ $\frac{3}{t} = \frac{8 - t}{3}$ ，整理得 $t^{2} - 8 t + 9 = 0$ ，解得 $t = 4 \pm \sqrt{7}$ .

∴ $O B = 4 \pm \sqrt{7}$ .

②如图3，当点C在第二象限内， $∠ A C B = ∠ B C O$ 时，延长 $A B ， C O$ 交于点G，

则 $△ A C B ≌ △ G C B$ ，∴ $A B = G B$ .

又∵ $A H ⊥ O B ， O C ⊥ O B$ ，

∴ $∠ A H B = ∠ G O B = 90 °$ ，

而 $∠ A B H = ∠ G B O$ ，

∴ $△ A B H ≌ △ G B O$ ，

∴ $O B = H B = \frac{1}{2} O H = 4$

③当点C在第四象限内， $∠ A C B = ∠ C B O$ 时， $A C$ 与 $O B$ 相交于点E，则有 $B E = C E$ .

(a)如图4，点B在第三象限内.

在 $R t △ A B C$ 中， $∠ 1 + ∠ 2 = 90 ° ， ∠ A C B + ∠ C A B = 90 °$ ，∴ $∠ 2 = ∠ C A B$

∴ $A E = B E = C E$ ，

又∵ $A H ⊥ O B ， O C ⊥ O B$ ，

∴ $∠ A H E = ∠ C O E = 90 °$ ，

而 $∠ A E H = ∠ C E O$

∴ $△ A H E ≌ △ C O E$ ，

∴ $H E = O E = \frac{1}{2} O H = 4$

∴ $A E = \sqrt{A H^{2} + H E^{2}} = 5$ ，

∴ $B E = 5$ ，

∴ $O B = B E + O E = 9$

(b)如图5，点B在第一象限内.

在 $R t △ A B C$ 中 $∠ A C B + ∠ C A B = 90 ° ， ∠ C B O + ∠ A B E = 90 °$

∴ $∠ C A B = ∠ A B E$ ，∴ $A E = B E = C E$ .

又∵ $A H ⊥ O B ， O C ⊥ O B$ ，

∴ $∠ A H E = ∠ C O E = 90 °$

而 $∠ A E H = ∠ C E O$ ，∴ $△ A H E ≌ △ C O E$

∴ $H E = O E = \frac{1}{2} O H = 4$

∴ $A E = \sqrt{A H^{2} + H E^{2}} = 5$ ，

∴ $B E = 5$ ，

∴ $O B = B E - O E = 1$

综上所述， $O B$ 的长为 $4 + \sqrt{7} ， 4 - \sqrt{7}$ ，4，9，1.

浙江省历年（2018-2022年）真题分类汇编专题47 解直角三角形（2）