解：①如图，连结

D E

.

∵ $B D$ 为 $⊙ O$ 的直径，

∴ $∠ A = ∠ B E D = 90 °$ .

在 $R t △ A B D$ 中， $\tan ∠ A D B = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $A D = 2$ ，

∴ $A B = \frac{\sqrt{3}}{2} A D = \sqrt{3}$ .

∵ $\overset{⌢}{A E} = \overset{⌢}{C D}$ ，

∴ $\overset{⌢}{A E} + \overset{⌢}{D E} = \overset{⌢}{C D} + \overset{⌢}{D E}$ ，

即 $\overset{⌢}{D A} = \overset{⌢}{C E}$ ，

∴ $A D = C E$ .

∵ $C E = B G$ ，

∴ $B G = A D = 2$ .

∵在 $R t △ A B G$ 中， $\sin ∠ A G B = \frac{A B}{B G} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

∴ $∠ A G B = 60 ° ， A G = \frac{1}{2} B G = 1$ ，

∴ $E F = D G = A D - A G = 1$ .

∵在 $R t △ D E G$ 中， $∠ E G D = 60 °$ ，

∴ $E G = \frac{1}{2} D G = \frac{1}{2} ， D E = \frac{\sqrt{3}}{2} D G = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

在 $R t △ F E D$ 中， $D F = \sqrt{E F^{2} + D E^{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$ ，

∴ $F G + D G + D F = \frac{5 + \sqrt{7}}{2}$ ，

∴ $△ F G D$ 的周长为 $\frac{5 + \sqrt{7}}{2}$ .

②如图，过点C作 $C H ⊥ B F$ 于H.

∵ $△ B D G ≌ △ C F E$ ，

∴ $B D = C F ， ∠ C F H = ∠ B D A$ .

∵ $∠ B A D = ∠ C H F = 90 °$ ，

∴ $△ B A D ≌ △ C H F (A A S)$ .

∴ $F H = A D$ ，

∵ $A D = B G$ ，

∴ $F H = B G$ .

∵ $∠ B C F = 90 °$ ，

∴ $∠ B C H + ∠ H C F = 90 °$ .

∵ $∠ B C H + ∠ H B C = 90 °$ ，

∴ $∠ H C F = ∠ H B C$ ，

∵ $∠ B H C = ∠ C H F = 90 °$ ，

∴ $△ B H C ∽ △ C H F$ ，

∴ $\frac{B H}{C H} = \frac{C H}{F H}$ .

设 $G H = x$ ，

∴ $B H = 2 - x$ ，

∴ $C H^{2} = 2 (2 - x)$ .

在 $R t △ G H C$ 中， $C G^{2} = G H^{2} + C H^{2}$ ，

∴ $C G^{2} = x^{2} + 2 (2 - x) = {(x - 1)}^{2} + 3$ ，

当 $x = 1$ 时， $C G^{2}$ 的最小值为3，

∴ $C G$ 的最小值为 $\sqrt{3}$

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