解：①当OC∥AF时，如图1，连结OC，OF，设∠AGF=α

可得∠FCD=∠ADC=∠ACD=∠AFC=∠CAG=α

∵OC∥AF，

∴∠OCF=∠AFC=α.

∵OC=OF，

∴∠OCF=∠OFC=α.

∵OC=OA，

∴∠ACO=∠CA0=3α.

∴∠OAG=∠GAC+∠OAC=4α=90°

∴α=22.5°，

∵∠OFC=∠AGF

∴OF∥AG.

∴∠AOF=∠OAG=90°，

∴∠OFA=2α=45°，

∴△AOF是等腰直角三角形，

②当OC∥AF时，如图2，连结O，设∠OAC=α

∵OC∥AF，

∴∠FAE=∠OCA=α

∴∠COE=∠FAE=2a.

∵∠AFG=∠D，由(1)，(2)得∠AGFH=∠DLG

∴ $∠ G = ∠ A F G = ∠ E + ∠ F A E = 3 a$

解得α=22.5°，2a=45°.

∴ $△ C O M$ 是等腰直角三角形，则 $\frac{O C}{O M} = \sqrt{2}$ .

可得 $O M = \frac{\sqrt{2}}{2} ， A M = \frac{\sqrt{2}}{2} + 1$ ，

∴ $A E = 2 A M = 2 + \sqrt{2} .$

③当 $A C / / O F$ 时，如图3，连结OC，OF，设 $∠ A G F = a$ .

∵ $∠ A C F = ∠ A C D + ∠ D C F = 2 α$

∵ $A C ‖ O O F$

∴ $∠ C F O = ∠ A C F = 2 α$

可得 $∠ C A O = ∠ A C O = 4 α$ .

解得 $α = 18^{°} ，$ ，

∴ $∠ C O E = ∠ E C O = ∠ C F O = 36^{°}$

∴ $△ O C E ∽ △ F C O$

∴ $O C^{2} = C E \times C F$

即 $1^{2} = C E \times (C E + 1)$ ，解得 $C E = A C = O E = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ .

∴ $A E = O A - O E = \frac{3 - \sqrt{5}}{2}$

④当 $A C / / O F$ 时，如图4，连结OC，OF，BF，设 $∠ F A O = α$ .

∵ $A C / / O F$

∴ $∠ C A F = ∠ O F A = α$

可得 $∠ C O F = ∠ B O F = 2 α$ .

∴ $A C = C E$

∴ $∠ E = ∠ C A E = ∠ E F B$

∴ $B F = B E$ .

可证 $△ O C F ≅ △ O B F ，$

∴ $C F = B F = B E$

∴ $∠ E = ∠ C O F$

∴ $△ C O F ~ △ C E O$ ，

∴ $O C^{2} = C E \times C F$ ，

解得 $B E = C F = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ ，

∴ $A E = A B + B E = \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

综上所述，AE的长为 $2 - \sqrt{2} ， 2 + \sqrt{2} ， \frac{3 - \sqrt{5}}{2} ， \frac{3 + \sqrt{5}}{2}$ .

浙江省历年（2018-2022年）真题分类汇编专题38 切线的判定与性质