解：如图，作CE⊥l，PQ⊥BC，PN⊥x轴，连接PC交x轴于点H，

设 $P (n ， n^{2} - 3 n - 4)$ ，PC的表达式为： $y = k x + d (k \neq 0)$ ，

将P，C代入 $y = k x + d (k \neq 0)$ 得，

${\begin{array}{l} n^{2} - 3 n - 4 = n k + d \\ - 4 = 0 + d \end{array}$ 解得： ${\begin{array}{l} k = n - 3 \\ d = - 4 \end{array}$

PC的表达式为： $y = (n - 3) x - 4$ ，

将y=0代入 $y = (n - 3) x - 4$ 得， $0 = (n - 3) x - 4$ ，即 $x = \frac{4}{n - 3}$ ，

∴ $H (\frac{4}{n - 3} ， 0)$

∵ $S_{Δ P C B} = S_{Δ P H B} + S_{Δ H C B}$

∴ $P Q \cdot B C = P N \cdot H B + O C \cdot H B$

∵ $B C = \sqrt{O A^{2} + O B^{2}} = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = 4 \sqrt{2}$

∴ $P Q = \frac{P N \cdot H B + O C \cdot H B}{B C} = \frac{(n^{2} - 3 n - 4 + 4) (4 - \frac{4}{n - 3})}{4 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} (n^{2} - 4 n)$

∵ $P B = \sqrt{P N^{2} + N B^{2}} = \sqrt{{(n^{2} - 3 n - 4)}^{2} + {(4 - n)}^{2}} = (4 - n) \sqrt{{(n + 1)}^{2} + 1}$

由题可知， $l ： x = - \frac{- 3}{2 \times 1} = \frac{3}{2}$

∴ $E C = \frac{3}{2}$

将 $x = \frac{3}{2}$ 代入 $y = x^{2} - 3 x - 4$ 得， $y = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - 4 = - \frac{25}{4}$ ，

∴ $E F = \frac{25}{4} - 4 = \frac{9}{4}$

∴ $C F = \sqrt{{(\frac{3}{2})}^{2} + {(\frac{9}{4})}^{2}} = \frac{3 \sqrt{13}}{4}$

∵ $∠ P B C + ∠ C F G = 90 °$ ，PQ⊥BC，CE⊥l，

∴ $Δ C E F ∼ Δ P Q B$

∴ $\frac{P B}{P Q} = \frac{C F}{E F} = \frac{\frac{3 \sqrt{13}}{4}}{\frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{3}$

∴ $\frac{(4 - n) \sqrt{{(n + 1)}^{2} + 1}}{\frac{\sqrt{2}}{2} (n^{2} - 4 n)} = \frac{\sqrt{13}}{3}$

解得： $n_{1} = - \frac{6}{5} ， n_{2} = - 6$ （舍去）．

辽宁省盘锦市2022年中考数学真题