解：①如图，过点C作CQ⊥DP于点Q，

∵点C（0，-3），

∴OC=3，

∵ $∠ C P D = 45 °$ ，

∴△CPQ为等腰直角三角形，

∴CQ=PQ，

设点 $P (m ， \frac{3}{4} m^{2} + \frac{9}{4} m - 3)$ ，则OD=-m， $P D = - \frac{3}{4} m^{2} - \frac{9}{4} m + 3$ ，

∵ $P D ⊥ x$ 轴，

∴∠COD=∠ODQ=∠CQD=90°，

∴四边形OCQD为矩形，

∴QC=OD=PQ=-m，DQ=OC=3，

∴ $P Q = D P - D Q = - \frac{3}{4} m^{2} - \frac{9}{4} m + 3 - 3 = - \frac{3}{4} m^{2} - \frac{9}{4} m$ ，

∴ $- m = - \frac{3}{4} m^{2} - \frac{9}{4} m$ ，

解得： $m = - \frac{5}{3}$ 或0（舍去），

∴点 $P (- \frac{5}{3} ， - \frac{14}{3})$ ；

②如图，过点E作EM∥x轴于点M，

令y=0， $\frac{3}{4} x^{2} + \frac{9}{4} x - 3 = 0$ ，

解得： $x_{1} = - 4 ， x_{2} = 1$ （舍去），

∴点B（-4，0），

∴OB=4，

∴ $B C = \sqrt{O B^{2} + O C^{2}} = 5$ ，

设直线BC的解析式为 $y = k x + n (k \neq 0)$ ，

把点B（-4，0），C（0，-3）代入得：

${\begin{array}{l} - 4 k + n = 0 \\ n = - 3 \end{array}$ ，解得： ${\begin{array}{l} k = - \frac{3}{4} \\ n = - 3 \end{array}$ ，

∴直线BC的解析式为 $y = - \frac{3}{4} x - 3$ ，

∵点 $E$ 关于直线 $P C$ 的对称点 $E^{'}$ 落在 $y$ 轴上时，

∴ $C E = C E^{'}$ ， $P E = P E^{'}$ ， $∠ P C E = ∠ P C E^{'}$ ，

∵DP⊥x轴，

∴PD∥CE′，

∴ $∠ C P E = ∠ P C E^{'}$ ，

∴ $∠ C P E = ∠ P C E$ ，

∴CE=PE，

∴ $P E = P E^{'} = C E = C E^{'}$ ，

∴四边形 $P E C E^{'}$ 为菱形，

∵EM∥x轴，

∴△CEM∽△CBO，

∴ $\frac{E M}{O B} = \frac{C E}{B C}$ ，

设点 $P (t ， \frac{3}{4} t^{2} + \frac{9}{4} t - 3)$ ，则点 $E (t ， - \frac{3}{4} t - 3)$ ，

当点P在y轴左侧时，EM=-t，

当-4＜t＜0时， $P E = (- \frac{3}{4} t - 3) - (\frac{3}{4} t^{2} + \frac{9}{4} t - 3) = - \frac{3}{4} t^{2} - 3 t$ ，

∴ $C E = P E = - \frac{3}{4} t^{2} - 3 t$ ，

∴ $\frac{- t}{4} = \frac{- \frac{3}{4} t^{2} - 3 t}{5}$ ，

解得： $t = - \frac{7}{3}$ 或0（舍去），

∴ $P E = - \frac{3}{4} t^{2} - 3 t = \frac{35}{12}$ ，

∴四边形 $P E C E^{'}$ 的周长为 $4 P E = 4 \times \frac{35}{12} = \frac{35}{3}$ ；

当点P在y轴右侧时，EM=-t，

当t≤-4时， $P E = (\frac{3}{4} t^{2} + \frac{9}{4} t - 3) - (- \frac{3}{4} t - 3) = \frac{3}{4} t^{2} + 3 t$ ，

∴ $\frac{- t}{4} = \frac{\frac{3}{4} t^{2} + 3 t}{5}$ ，解得： $t = - \frac{17}{3}$ 或0（舍去），

此时 $P E = \frac{3}{4} t^{2} + 3 t = \frac{85}{12}$ ，

∴四边形 $P E C E^{'}$ 的周长为 $4 P E = 4 \times \frac{85}{12} = \frac{85}{3}$ ；

当点P在y轴右侧，即t＞0时，EM=t， $P E = (\frac{3}{4} t^{2} + \frac{9}{4} t - 3) - (- \frac{3}{4} t - 3) = \frac{3}{4} t^{2} + 3 t$ ，

∴ $\frac{t}{4} = \frac{\frac{3}{4} t^{2} + 3 t}{5}$ ，解得： $t = - \frac{7}{3}$ 或0，

不符合题意，舍去；

综上所述，四边形 $P E C E^{'}$ 的周长为 $\frac{85}{3}$ 或 $\frac{35}{3}$ .

湖北省十堰市2022年中考数学试卷