解：

① ∵ β = γ + 45 °

，

α + β = 90 °

，

$∴ 90 ° - α = γ + 45 °$ .

$∴ α + γ = 45 °$ .

$∵ ∠ B A C = α$ ， $∠ B A O = γ$ ，

$∴ ∠ O A C = ∠ B A C + ∠ B A O = 45 °$ .

$∵ O A = O C$ ，

$∴ ∠ O A C = ∠ O C A = 45 °$ .

$∴ ∠ A O C = 90 °$ .

$∵ A D = 2 O D$ ，

$∴ sin ∠ O A D = \frac{O D}{A D} = \frac{1}{2}$ .

$∴ ∠ O A D = 30 °$ .

$∴ ∠ B A C = 15 °$ .

$∴ ∠ B O C = 2 ∠ B A C = 30 °$ .

$∵ O A = O D$ ，

$∴ ∠ O B A = ∠ B A O = 30 °$ .

$∴ ∠ D O B = ∠ D B O = 30 °$ ，

$∴ D O = D B$ .

过点 $D$ 作 $D E ⊥ O B$ 于点 $E$ ，如图，

则 $O E = E B = \frac{1}{2} O B = \frac{1}{2}$ .

$∵ tan ∠ D O B = \frac{D E}{O E}$ ，

$∴ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{D E}{\frac{1}{2}}$ .

$∴ D E = \frac{\sqrt{3}}{6}$ .

$∴ S_{△ D O B} = \frac{1}{2} \times O B \cdot D E = \frac{\sqrt{3}}{12}$ .

$∵ S_{扇形 O C B} = \frac{30 π \times 1^{2}}{360} = \frac{π}{12}$ ，

$∴ S = S_{扇形 O C B} - S_{△ D B O} = \frac{π - \sqrt{3}}{12}$ .

$② ∵ α + 2 γ = 90 °$ ， $α + β = 90 °$ ，

$∴ β = 2 γ$ .

延长 $A O$ ，交圆 $O$ 于点 $G$ ，连接 $B G$ ，如图，

$∵ ∠ B O G = 2 ∠ B A O = 2 γ$ ，

$∴ ∠ B O G = ∠ O C B$ .

$∵ ∠ O B C = ∠ O C B$ ，

$∴ ∠ B O G = ∠ O B C$ .

$∴ B C / / A G$ .

过点 $O$ 作 $O F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，则 $C F = B F = \frac{1}{2} B C$ ， $∠ C O F = \frac{1}{2} ∠ B O C = α$ .

$∵ s i n α = k$ ， $s i n α = \frac{C F}{O C}$ ，

$∴ C F = O C \cdot s i n α = k$ ，

$∴ B C = 2 k$ .

设 $O D = x$ ，则 $C D = O C - O D = 1 - x$ ，

$∵ B C / / O A$ ，

$∴ △ D A O$ ∽ $△ D B C$ .

$∴ \frac{O A}{B C} = \frac{O D}{C D}$ .

$∴ \frac{1}{2 k} = \frac{x}{1 - x}$ .

解得： $x = \frac{1}{2 k + 1}$ .

$∴ O D = \frac{1}{2 k + 1}$ .

浙江省杭州市江干区采荷实验学校2022年中考数学模拟卷（4月份）