解：如图2中，连接

D E

．

∵ $B E$ 为 $⊙ O$ 的直径，

∴ $∠ B D E = 90 °$

∵ $∠ B D E = ∠ C = 90 °$ 且 $∠ 1 = ∠ 2$

∴ $△ B C D ∽ △ B D E$ ，

∴ $\frac{B D}{B E} = \frac{B C}{B D}$ ，

∴ $B D^{2} = B E \cdot B C$

∵ $B E$ 为 $⊙ O$ 的直径，∴ $B E = 2 B O$

∴ $B D^{2} = 2 B O \cdot B C$

∵ $∠ C = 90 °$ ， $t a n ∠ D B C = \frac{1}{2}$ ，

∴设 $D C = a$ ，则 $B C = 2 a$ ，

由勾股定理得 $C D^{2} + B C^{2} = B D^{2}$ ，得 $a^{2} + {(2 a)}^{2} = {(2 \sqrt{5})}^{2}$ ，

∴ $a = 2$ ，∴ $B C = 4$ ，

∵ $B D^{2} = 2 B O \cdot B C$ ，

∴ ${(2 \sqrt{5})}^{2} = 2 B O \times 4$ ，

∴ $B O = \frac{5}{2}$ ，

∴ $⊙ O$ 的半径为 $\frac{5}{2}$ ．

广东省深圳市福田区2022年九年级教学质量检测（二模）数学试题