解：①∵β=γ+45°，α+β=90°，

∴90°-α=γ+45°．

∴α+γ=45°．

∵∠BAC=α，∠BAO=γ，

∴∠OAC=∠BAC+∠BAO=45°．

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=45°．

∴∠AOC=90°．

∵AD=2OD，

∴sin∠OAD= $\frac{O D}{A D}$ ＝ $\frac{1}{2}$ ．

∴∠OAD=30°．

∴∠BAC=15°．

∴∠BOC=2∠BAC=30°．

∵OA=OD，

∴∠OBA=∠BAO=30°．

∴∠DOB=∠DBO=30°，

∴DO=DB．

过点D作DE⊥OB于点E，如图，

则OE=EB= $\frac{1}{2}$ OB= $\frac{1}{2}$ ．

∵tan∠DOB= $\frac{D E}{O E}$ ，

∴ $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ＝ $\frac{D E}{\frac{1}{2}}$ ．

∴DE= $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ．

∴S△DOB＝ $\frac{1}{2}$ ×OB•DE= $\frac{\sqrt{3}}{12}$ ．

∵S_扇形OCB＝ $\frac{30 π \times 1^{2}}{360}$ ＝ $\frac{π}{12}$ ，

∴S=S_扇形OCB-S△DBO= $\frac{π - \sqrt{3}}{12}$ ．

②∵α+2γ=90°，α+β=90°，

∴β=2γ．

延长AO，交圆O于点G，连接BG，如图，

∵∠BOG=2∠BAO=2γ，

∴∠BOG=∠OCB．

∵∠OBC=∠OCB，

∴∠BOG=∠OBC．

∴BC∥AG．

过点O作OF⊥BC于点F，则CF=BF= $\frac{1}{2}$ BC，∠COF= $\frac{1}{2}$ ∠BOC=α．

∵sinα=k，sinα= $\frac{C F}{O C}$ ，

∴CF=OC•sinα=k，

∴BC=2k．

设OD=x，则CD=OC-OD=1-x，

∵BC∥OA，

∴△DAO∽△DBC．

∴ $\frac{O A}{B C} = \frac{O D}{C D}$ ．

∴ $\frac{1}{2 k}$ ＝ $\frac{x}{1 - x}$ ．

解得：x= $\frac{1}{2 k + 1}$ ．

∴OD= $\frac{1}{2 k + 1}$ ．

广东省深圳市南山区2022年三月份中考数学模拟试题