解：①如图1，分别过点D、F作DN⊥BC于点N，FM⊥BC于点M，连结BF，

∴∠DNE=∠EMF=90°，

又∵∠NDE=∠MEF，DE=EF，

∴△DNE≌△EMF，

∴DN=EM，

又∵BD=7 $\sqrt{2}$ ，∠ABC=45°，

∴DN=EM=7，

∴BM=BC-ME-EC=5，

∴MF=NE=NC-EC=5，

∴BF=5 $\sqrt{2}$ ，

∵点D、G分别是AB、AF的中点，

∴DG= $\frac{1}{2}$ BF= $\frac{5}{2}$ $\sqrt{2}$ ；

②过点D作DH⊥BC于点H，

∵AD=6BD，AB=14 $\sqrt{2}$ ，

∴BD=2 $\sqrt{2}$ ，

（ⅰ）当∠DEG=90°时，有如图2、3两种情况，设CE=t，

∵∠DEF=90°，∠DEG=90°，

∴点E在线段AF上，

∴BH=DH=2，BE=14-t，HE=BE-BH=12-t，

∵△DHE∽△ECA，

∴ $\frac{D H}{E C} = \frac{H E}{C A}$ ，

即 $\frac{2}{t} = \frac{12 - t}{14}$ ，

解得：t=6±2 $\sqrt{2}$ ，

∴CE=6+2 $\sqrt{2}$ ，或CE=6-2 $\sqrt{2}$ ，

（ⅱ）当DG∥BC时，如图4，过点F作FK⊥BC于点K，延长DG交AC于点N，延长AC并截取MN=NA，连结FM，

则NC=DH=2，MC=10，

设GN=t，则FM=2t，BK=14-2t，

∵△DHE∽△EKF，

∴DH=EK=2，HE=KF=14-2t，

∵MC=FK，

∴14-2t=10，

解得：t=2，

∵GN=EC=2，GN∥EC，

∴四边形GECN为平行四边形，∠ACB=90°，

∴四边形GECN为矩形，

∴∠EGN=90°，

∴当EC=2时，有∠DGE=90°，

（ⅲ）当∠EDG=90°时，如图5：

过点G、F分别作AC的垂线交射线于点N、M，过点E作EK⊥FM于点K，过点D作GN的垂线交NG的延长线于点P，则PN=HC=BC-HB=12，

设GN=t，则FM=2t，

∴PG=PN-GN=12-t，

∵△DHE∽△EKF，

∴FK=2，

∴CE=KM=2t-2，

∴HE=HC-CE=12-（2t-2）=14-2t，

∴EK=HE=14-2t，

AM=AC+CM=AC+EK=14+14-2t=28-2t，

∴MN= $\frac{1}{2}$ AM=14-t，NC=MN-CM=t，

∴PD=t-2，

∵△GPD∽△DHE，

∴ $\frac{G P}{D H} = \frac{P D}{H E}$ ，

即 $\frac{12 - t}{2} = \frac{t - 2}{14 - 2 t}$ ，

解得：t₁=10- $\sqrt{14}$ ，t₂=10+ $\sqrt{14}$ （舍去），

∴CE=2t-2=18-2 $\sqrt{14}$ ；

综上所述：CE的长为=6+2 $\sqrt{2}$ ，6-2 $\sqrt{2}$ ，2或18-2 $\sqrt{14}$ .

北师大版备考2022中考数学二轮复习专题17 相似三角形