解：存在，如图3，平行四边形

A M B N

以

A B

为对角线，

延长 $E D$ 交 $y$ 轴于点 $R$ ，设 $O D = r$ ，

由折叠得， $∠ A E D = ∠ A O D = 90 °$ ， $E D = O D$ ，

$∴ E D = r$ ， $E D ⊥ A B$ ；

$∵ A B = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$ ， $A E = A O = 3$ ，

$∴ B E = 5 - 3 = 2$ ，

$∵ S_{Δ A O B} = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6$ ，且 $S_{Δ A O D} + S_{Δ A B D} = S_{Δ A O B}$ ，

$∴$ $\frac{1}{2} \times 3 r + \frac{1}{2} \times 5 r = 6$ ，

解得 $r = \frac{3}{2}$ ，

$∴ E D = O D = \frac{3}{2}$ ，

$∴ D (\frac{3}{2}$ ， $0)$ ；

$∵ ∠ D O R = ∠ D E B = 90 °$ ， $∠ O D R = ∠ E D B$ ，

$∴ Δ O D R ≅ Δ E D B (A S A)$ ，

$∴ R O = B E = 2$ ，

$∴ R (0 ， - 2)$ ，

设直线 $D E$ 的解析式为 $y = p x - 2$ ，

则 $\frac{3}{2} p - 2 = 0$ ，解得 $p = \frac{4}{3}$ ，

$∴ y = \frac{4}{3} x - 2$ ；

$∵$ 点 $N$ 在 $x$ 轴上，且 $A M / / B N$ ，

$∴ A M / / x$ 轴，

$∴$ 点 $M$ 与点 $A$ 的纵坐标相等，都等于3，

当 $y = 3$ 时，由 $\frac{4}{3} x - 2 = 3$ ，得 $x = \frac{15}{4}$ ，

$∴ M (\frac{15}{4}$ ， $3)$ ，

$∵ B N = A M = \frac{15}{4}$ ，

$∴ O N = 4 - \frac{15}{4} = \frac{1}{4}$ ，

$∴ N (\frac{1}{4}$ ， $0)$ ；

如图4，平行四边形 $A B N M$ 以 $A B$ 为一边，则 $A M / / x$ 轴，且 $A M = B N = \frac{15}{4}$ .

$∵ O N = 4 + \frac{15}{4} = \frac{31}{4}$ ，

$∴ N (\frac{31}{4}$ ， $0)$ ，

综上所述，点 $N$ 的坐标为 $(\frac{1}{4}$ ， $0)$ 或 $(\frac{31}{4}$ ， $0)$

2022年浙教版数学八下期中复习阶梯训练：平行四边形（优生集训）