连接

A C

，设

∠ B A D = α

，在

△ A B D

中由余弦定理得

$B D^{2} = A D^{2} + A B^{2} - 2 A D \times A B \times \cos α = 1 + 3 - 2 \times \sqrt{3} \cos α = 4 - 2 \sqrt{3} \cos α$ ，

因为 $B C = \sqrt{3} B D$ ，所以 $B C^{2} = 3 B D^{2} = 3 (4 - 2 \sqrt{3} \cos α)$ ，

由正弦定理得 $\frac{B D}{\sin α} = \frac{A D}{\sin ∠ A B D} = \frac{\sqrt{3}}{\sin ∠ A B D}$ ，

所以 $\sin ∠ A B D = \frac{\sqrt{3} \sin α}{B D}$ ，因为 $B D ⊥ B C$ ，所以 $∠ C B D = 90^{\circ}$ ，

在 $△ A B C$ 中，由余弦定理得 $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B \times B C \times \cos ∠ A B C$ ，

所以 $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B \times B C \times \cos (∠ A B D + 90^{\circ})$

$= 1^{2} + 3 \times (4 - 2 \sqrt{3} \cos α) + 2 \sqrt{3 (4 - 2 \sqrt{3} \cos α)} \times \sin ∠ A B D$

$= 1^{2} + 12 - 6 \sqrt{3} \cos α + 2 \sqrt{3 (4 - 2 \sqrt{3} \cos α)} \times \frac{\sqrt{3} \sin α}{\sqrt{4 - 2 \sqrt{3} \cos α}}$

$= 13 - 6 \sqrt{3} \cos α + 6 \sin α$

$= 13 + 12 (\frac{1}{2} \sin α - \frac{\sqrt{3}}{2} \cos α) = 13 + 12 \sin (α - \frac{π}{3})$ ，

因为 $0 < α < π$ ，所以 $- \frac{π}{3} < α - \frac{π}{3} < \frac{2 π}{3}$ ，所以当 $α - \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$ 即 $α = \frac{5 π}{6}$ 时，

$\sin (α - \frac{π}{3})$ 取最大值为1，此时 $A C_{\max} = \sqrt{13 + 12 \times 1} = 5$ ，

综上所述， $A C$ 的最大值为5．

高中数学人教A版（2019） 必修二 第六章 第四节 平面向量的应用

高中数学人教A版（2019）必修二第六章第四节平面向量的应用