解：取正方形四个顶点分别为BCDE，

B、E的纵坐标为 $- 1 + 2 | a |$ ，

C、D的纵坐标为 $- 1 - 2 | a |$ ，

$G$ 与正方形某边有两个交点，只可能与BE或CD相交出两个交点，

当 $a > 0$ 时，B、E纵坐标为 $- 1 + 2 a$ 可得：

$- 1 + 2 a = \frac{1}{a} x^{2} - 2 x + a^{2} - 1$ ，

整理得： $x^{2} - 2 a x + a^{3} - 2 a^{2} = 0$ ，

设方程的两根为 $x_{1} 、 x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2 a$ ， $x_{1} x_{2} = a^{3} - 2 a^{2}$ ， $x_{1} - x_{2} = a$ ，

∴ ${(x_{1} - x_{2})}^{2} = a^{2}$ ，则 ${(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4 x_{1} x_{2} = a^{2}$ ，

解得： $a = \frac{11}{4}$ ；

当与CD边相交时，C、D边纵坐标为 $- 1 - 2 a$ ，

$- 1 - 2 a = \frac{1}{a} x^{2} - 2 x + a^{2} - 1$ ，且 $x_{1} - x_{2} = a$ ，

无解；

当 $a < 0$ 时，B、E纵坐标为 $- 1 - 2 a$ ，

$- 1 - 2 a = \frac{1}{a} x^{2} - 2 x + a^{2} - 1$ 且 $x_{1} - x_{2} = a$ ，

解得： $a = - \frac{5}{4}$ ．

当与CD边相交时，C、D纵坐标为 $- 1 + 2 a$ ，

$- 1 + 2 a = \frac{1}{a} x^{2} - 2 x + a^{2} - 1$ ，且 $x_{1} - x_{2} = a$ ，

无解．

综上： $a = \frac{11}{4}$ 或 $a = - \frac{5}{4}$ ．

浙教版备考2022中考数学二轮复习训练题1：方程 与不等式组

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