解：过点A作AH

⊥

BP于点H，连接PD，BD，

∵ $∠ A B H = 30^{\circ}$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，

∴ $A H = \sqrt{3}$ ， $B H = 3$ ， $∠ B A H = 60^{\circ}$

∵ $∠ B A P = 105^{\circ}$ ，

∴ $∠ H A P = 45^{\circ}$ ，

∴PH=AH= $\sqrt{3}$ ，

∴ $A P = \sqrt{6}$ ， $B P = B H + P H = 3 + \sqrt{3}$ ，

∴ $S_{△ A B P} = \frac{B P \cdot A H}{2} = \frac{(3 + \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3} + 3}{2}$ ，

∵ $P E = \sqrt{2}$ ，ED=2，

∴ $\frac{P E}{A P} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $\frac{E D}{A B} = \frac{2}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

∴ $\frac{P E}{A P} = \frac{E D}{A B}$ ，

∵ $∠ E = ∠ B A P = 105^{\circ}$ ，

∴△ABP∽△EDP，

∴ $∠ E P D = ∠ A P B = 45^{\circ}$ ， $\frac{P D}{B P} = \frac{P E}{A P} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

∴ $∠ B P D = 90^{\circ}$ ， $P D = 1 + \sqrt{3}$ ，

∴ $S_{△ P E D} = S_{△ A B P} \cdot {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2} = \frac{3 \sqrt{3} + 3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ ，

$S_{△ B P D} = \frac{B P \cdot P D}{2} = \frac{(3 + \sqrt{3}) \cdot (1 + \sqrt{3})}{2} = 3 + 2 \sqrt{3}$ ，

∵ $\tan ∠ P B D = \frac{P D}{B P} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

∴ $∠ P B D = 30^{\circ}$

∵ $∠ A B C = 90^{\circ}$ ， $∠ A B P = 30^{\circ}$

∴ $∠ D B C = 30^{\circ}$

∵ $∠ C = 105^{\circ}$

∴△ABP∽△EDP∽△CBD

∴ $S_{△ B C D} = S_{△ A B P} + S_{△ E P D} = \frac{3 + 3 \sqrt{3}}{2} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = 2 + 2 \sqrt{3}$

$S_{四边形 A B C D} = S_{△ B C D} + S_{△ A B P} + S_{△ E P D} + S_{△ B P D} = \frac{3 + 3 \sqrt{3}}{2} + \frac{1 + \sqrt{3}}{2} + (2 + 2 \sqrt{3}) + (3 + 2 \sqrt{3}) = 6 \sqrt{3} + 7$ 故最后答案为 $6 \sqrt{3} + 7$ ．

2022届中考数学 二轮必刷解答题（1） 全国通用

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