证明：如图，作

E Q ⊥ B C

，

$∵ E Q ⊥ B C ， A C ⊥ E C$ ，

$∴ ∠ E Q C = ∠ A C E = 90 °$ ，

$∵ ∠ Q E C + ∠ Q C E = 90 ° ， ∠ Q C E + ∠ Q C A = 90 °$ ，

$∴ ∠ Q E C = ∠ Q C A$ ，

$∵ ∠ A B C = 90 °$ ，

$∴ ∠ A B C = ∠ C Q E$ ，

在 $△ A B C$ 和 $△ C Q E$ 中，

${\begin{array}{l} ∠ A B C = ∠ C Q E \\ ∠ B C A = ∠ Q E C \\ A C = C E \end{array}$

$∴$ $△ A B C$ $≌$ $△ C Q E$ ，

$∴ A B = C Q ， B C = Q E$ ，

$∵ A C = C E ， A C ⊥ C E$ ，

$∴ △ A C E$ 是等腰直角三角形，

$∴ ∠ C A E = ∠ C E A = 45 °$ ，

$∵ ∠ B A D + ∠ C A E + ∠ A C B + ∠ A B D = 180 °$ ，

$∴ ∠ B A D + ∠ A C B = 45 °$ ，

$∵$ $∠ B A D = ∠ A C F$ ，

$∴ ∠ A C F + ∠ A C B = 45 °$ ，

即 $∠ F C B = 45 °$ ，

$∴ ∠ F C B = ∠ B F C = 45 °$ ，

$∴ B C = B F$ ，

$∵ C Q = A B ， B C = E Q = B F$ ，

$∴ B Q = A F$ ，

在 $△ F B H$ 与 $△ E Q H$ 中

${\begin{array}{l} ∠ B H F = ∠ Q H E \\ ∠ F B H = ∠ E Q H = 90 ° \\ B F = E Q \end{array}$

$∴ △ F B H ≌ △ E Q H$ ，

$∴ B H = Q H = \frac{1}{2} B Q = \frac{1}{2} A F$ ，

$∴ A F = 2 B H$ ；

初中数学北师大版八年级下册第一章第二节 直角三角形 同步练习

初中数学北师大版八年级下册第一章第二节直角三角形同步练习