取AB中点为O，连接PO，CO，

因为 $P A = P B$ ，所以 $P O ⊥ A B$ ，

又因为 $P O \subset$ 平面PAB，平面 $P A B ⊥$ 平面ABCD，平面 $P A B \cap$ 平面 $A B C D = A B$

所以 $P O ⊥$ 平面ABCD，

又因为 $A B = 2$ ， $P A = P B$ ， $P A ⊥ P B$ ，所以 $P O = 1$ ，

又因为 $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 2$ ， $O$ 为AB中点，所以 $C D ∥ A O$ ， $C D = A O$ ，

又因为 $A B ⊥ A D$ ，所以四边形OADC为矩形，所以 $O B ⊥ O C$ ，

故以 $O$ 为坐标原点， $\vec{O B}$ 为 $x$ 轴正方向， $\vec{O C}$ 为 $y$ 轴正方向， $\vec{O P}$ 为 $z$ 轴正方向建立空间

直角坐标系如图，则 $A (- 1 ， 0 ， 0)$ ， $P (0 ， 0 ， 1)$ ， $D (- 1 ， 2 ， 0)$ ， $C (0 ， 2 ， 0)$ ，所以 $\vec{P D} = (- 1 ， 2 ， - 1)$ ，

又因为M在PD上，所以存在 $λ \in [0 ， 1]$ ，使 $\vec{P M} = λ \vec{P D}$ ，所以 $\vec{P M} = (- λ ， 2 λ ， - λ)$ ，

又因为 $P (0 ， 0 ， 1)$ ，所以 $M (- λ ， 2 λ ， - λ + 1)$ ，所以 $\vec{C M} = (- λ ， 2 λ - 2 ， 1 - λ)$ ，

又因为 $\vec{A P} = (1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{A D} = (0 ， 2 ， 0)$ ，

设平面PAD的法向量 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，则 ${\begin{array}{l} x + z = 0 \\ 2 y = 0 \end{array}$ ，所以 $y = 0$ ，取 $x = 1$ ，则 $z = - 1$ .

所以 $\vec{n} = (1 ， 0 ， - 1)$ .

设直线CM与平面PAD所成角为 $θ$ ，

则 $s i n θ = | c o s ⟨ \vec{C M} ， \vec{n} ⟩ | = \frac{| \vec{C M} \cdot \vec{n} |}{| \vec{C M} | ， | \vec{n} |} = \frac{| - λ + 0 + λ - 1 |}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{λ^{2} + {(2 λ - 2)}^{2} + {(1 - λ)}^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，

故 $12 λ^{2} - 20 λ + 7 = 0$ ，所以 $λ = \frac{1}{2}$ 或 $λ = \frac{7}{6}$ ，

又因为 $λ \in [0 ， 1]$ ，所以 $λ = \frac{1}{2}$ ，

即 $\frac{P M}{P D} = \frac{1}{2}$ .

2022年高考数学二轮复习 解答题型 25 空间几何 解答题型猜想

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