解：如图，连接

O B ， O C

，

$∴ O C = O B$

$∴ ∠ O C B = ∠ O B C$

$∴ ∠ B O C = 180 ° - 2 ∠ O B C$

$∵$ $B E$ 是 $⊙ O$ 的切线，

$∴ ∠ O B E = 90 °$

$∴ ∠ O B C + ∠ E B C = 90 °$

$∴ ∠ E C B = 90 ° - ∠ O B C$ $= \frac{1}{2} ∠ B O C$

$∵ \overset{⌢}{C B} = \overset{⌢}{C B}$

$∴ ∠ B A C = \frac{1}{2} ∠ B O C$

$∴ ∠ C B E = ∠ B A E$

如图，延长AD交BC的延长线于G，作 $D M ⊥ B G$ 于G， $D N ⊥ A C$ 于N， $B Q ⊥ A G$ 于Q，延长AB至S，连接ES，使 $E S = E B$ ，作 $E F ⊥ A S$ 于F， $C R ⊥ D G$ 于R，

$∵ \overset{⌢}{C D} = \overset{⌢}{C D}$

$∴$ $∠ C B D = ∠ D A C$

∵ $∠ B E A = 2 ∠ D B C$ ，

设 $∠ C B D = ∠ D A C = α$ ， $∠ C B E = β$ ，则 $∠ B E A = 2 α$ ，

∴ $∠ D B E = ∠ A B D = ∠ D A B = α + β$

$∵ ∠ A C B = ∠ C B E + ∠ B E A = 2 α + β$

∴ $∠ A B C = ∠ A B D + ∠ C B D = 2 α + β = ∠ A C B = ∠ A D B$

∴ $A B = A C$

$∵ \overset{⌢}{A D} = \overset{⌢}{A D}$

$∴ ∠ A C D = ∠ A B D = α + β$

∵ $∠ B D C = ∠ B A C = ∠ E B C = β$

∴ $∠ D C G = ∠ C B D + ∠ B D C = α + β$ ，

$∠ G = ∠ B C A - ∠ D A C = 2 α + β - α = α + β = ∠ A C D = ∠ D C G$

$∴$ $D M = D N$

又 $C D = C D$

$∴ △ D M C ≌ △ D N C$

$∴$ $C N = C M$

$∵$ $∠ D C G = ∠ G$ ， $D M ⊥ C G$

$∴ C M = M G$

∵ $B D = 3 C D$ ，设 $C D = D G = a$ ， $A D = B D = 3 a$ ，

$C N = C M = M G = b$ ，则 $C G = 2 b$ ，

$\frac{S_{△ A C D}}{S_{△ G C D}} = \frac{\frac{1}{2} A C \cdot D N}{\frac{1}{2} C G \cdot D M} = \frac{\frac{1}{2} A D \cdot C R}{\frac{1}{2} D G \cdot C R}$ ，

又 $D N = D M$

∴ $\frac{A C}{C G} = \frac{A D}{D G} = \frac{3 a}{a} = 3$

∴ $A C = A B = 3 C G = 6 b$ ， $A N = 6 b - b = 5 b$

∵ $D N ⊥ A C$

∴在 $R t △ A D N$ 中， $A D^{2} - A N^{2} = D N^{2}$ ，

在 $R t △ C D N$ 中， $C D^{2} - C N^{2} = D N^{2}$ ，

$∴ A D^{2} - A N^{2} = C D^{2} - C N^{2}$

即 ${(3 a)}^{2} - {(5 b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$

∴ $a = \sqrt{3} b$

∴ $A D = B D = 3 \sqrt{3} b$ ，设 $Q D = x$ ， $A Q = 3 \sqrt{3} b - x$

∵ $B Q ⊥ A D$

在 $R t △ B D Q$ 与 $R t △ B A Q$ 中，

$A B^{2} - A Q^{2} = B Q^{2} ， B D^{2} - Q D^{2} = B Q^{2}$

∴ $A B^{2} - A Q^{2} = B D^{2} - Q D^{2}$

∴ ${(6 b)}^{2} - {(3 \sqrt{3} b - x)}^{2} = {(3 \sqrt{3} b)}^{2} - x^{2}$

解得： $x = \sqrt{3} b$

∴ $\sin ∠ Q B D = \frac{D Q}{B D} = \frac{\sqrt{3} b}{3 \sqrt{3} b} = \frac{1}{3}$

$∵ ∠ Q B D = 90 ° - ∠ A D B = 90 ° - 2 α - β$ ，

$∠ E B S = ∠ B A E + ∠ B E A = β + 2 α$

$∴ \sin ∠ Q B D = \sin (90 ° - 2 α - β) = \sin ∠ B E F = \frac{1}{3} = \frac{B F}{B E}$

$∵$ $B E = 6$

∴ $B F = 2$

∵ $E S = E B$

$∴ ∠ S = ∠ E B S = β + 2 α$

$∵ ∠ A B C = 2 α + β$

$∴ ∠ S = ∠ A B C$

$∴ E S ∥ B G$

$∴$ $∠ B E S = ∠ E B C = β$

∴ $∠ A E S = 2 α + β = ∠ A S E$

∴ $A S = A E$

∵ $A B = A C$ ， $E S = E B$

∴ $C E = B S = 2 B F = 4$

27.3 圆中的计算问题----华师大版九年级下册同步试卷