解：由题意可得如图所示：

由（1）可得抛物线 $L'$ 的解析式为 $y = - x^{2} + 3 x + 4$ ，

∴令x=0时，y=4，令y=0时，则 $0 = - x^{2} + 3 x + 4$ ，解得： $x_{1} = - 1 ， x_{2} = 4$ ，

∴ $A^{'} (0 ， 4) ， B^{'} (4 ， 0) ， C^{'} (- 1 ， 0)$ ，

由抛物线L的解析式为 $y = x^{2} + 3 x - 4$ 可得点 $A (0 ， - 4) ， C (1 ， 0)$ ，

∴ $O A = 4 ， O C = 1$ ，

设点 $P (a ， - a^{2} + 3 a + 4)$ ，

由PQ⊥l，若 $△ A' Q P ∽ △ A O C$ ，则对应关系是明确的，故点P在y轴的左侧是不符合相似三角形的对应关系，所以点P在y轴的右侧，则可分：

①当点P在直线l上方的抛物线上时，如图所示：

∴ $P Q = - a^{2} + 3 a + 4 - 4 = - a^{2} + 3 a ， A^{'} Q = a$ ，

∵ $△ A' Q P ∽ △ A O C$ ，

∴ $\frac{A^{'} Q}{O A} = \frac{P Q}{O C}$ ，即 $\frac{a}{4} = \frac{- a^{2} + 3 a}{1}$ ，

解得： $a_{1} = \frac{11}{4} ， a_{2} = 0$ （不符合题意，舍去），

∴点 $P (\frac{11}{4} ， \frac{75}{16})$ ；

②当点P在直线l下方的抛物线上时，如图所示：

∴ $P Q = 4 + a^{2} - 3 a - 4 = a^{2} - 3 a ， A^{'} Q = a$ ，

∵ $△ A' Q P ∽ △ A O C$ ，

∴ $\frac{A^{'} Q}{O A} = \frac{P Q}{O C}$ ，即 $\frac{a}{4} = \frac{a^{2} - 3 a}{1}$ ，

解得： $a_{1} = \frac{13}{4} ， a_{2} = 0$ （不符合题意，舍去），

∴点 $P (\frac{13}{4} ， \frac{51}{16})$ ；

综上所述：当 $△ A' Q P ∽ △ A O C$ ，点 $P (\frac{13}{4} ， \frac{51}{16})$ 或 $P (\frac{11}{4} ， \frac{75}{16})$ .

陕西省中考数学历年真题模拟题汇编——二次函数