解：选择①作为已知时，

设 $A C = x$ ， $△ A B C$ 为等腰三角形，故 $B C = A C = x$

$S_{△ A B C} = \frac{1}{2} a b \sin C = \frac{1}{2} \cdot x^{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} = 4 \sqrt{3}$ ，解得 $x = 4$

则 $D C = \frac{1}{2} A C = 2$ ， $B C = 4$ .

$△ B C D$ 中， $∠ B C D = \frac{2}{3} π$ ， $\cos ∠ B C D = \frac{B C^{2} + C D^{2} - B D^{2}}{2 \cdot B C \cdot C D}$ ，

则 $- \frac{1}{2} = \frac{4^{2} + 2^{2} - B D^{2}}{2 \times 4 \times 2}$ ，解得 $B D = 2 \sqrt{7}$ .

故 $A C$ 边上中线 $B D$ 长为 $2 \sqrt{7}$ ；

选择②作为已知时，

设 $A C = x$ ， $△ A B C$ 为等腰三角形，故 $B C = A C = x$

过点 $C$ 作 $C H ⊥ A B$ ，垂足为 $H$ .

$R t △ A H C$ 中， $∠ H A C = \frac{π}{6}$ ， $A C = x$ ，故 $A B = 2 A H = \sqrt{3} x$ ，

三角形周长为 $B C + A C + A B = x + x + \sqrt{3} x = 2 x + \sqrt{3} x = 8 + 4 \sqrt{3}$ ，解得 $x = 4$

则 $D C = \frac{1}{2} A C = 2$ ， $B C = 4$ .

$△ B C D$ 中， $∠ B C D = \frac{2}{3} π$ ， $\cos ∠ B C D = \frac{B C^{2} + C D^{2} - B D^{2}}{2 \cdot B C \cdot C D}$ ，

则 $- \frac{1}{2} = \frac{4^{2} + 2^{2} - B D^{2}}{2 \times 4 \times 2}$ ，解得 $B D = 2 \sqrt{7}$ .

故 $A C$ 边上中线 $B D$ 长为 $2 \sqrt{7}$ .

高中数学人教A版（2019） 必修一 第五章 三角函数

高中数学人教A版（2019）必修一第五章三角函数