解：如图，设P关于直线OL的对称点为M，关于x轴的对称点为N，连接PM交直线OL于点R，连接PN交x轴于点S，连接MN交直线OL于点E，交x轴于点F，

由对称性可知EP=EM，FP=FN，∴PE+PF+EF=ME+EF+NF=MN，∴此时△PEF的周长即为MN的长，为最小，设R（x，

\frac{4}{3}

x），由题意可知OR=OS=2，PR=PS=n，

∴ $\sqrt{x^{2} + {(\frac{4}{3} x)}^{2}}$ =2，解得x=﹣ $\frac{6}{5}$ （舍去）或x= $\frac{6}{5}$ ，

∴R（ $\frac{6}{5}$ ， $\frac{8}{5}$ ），

∴ $\sqrt{{(2 - \frac{6}{5})}^{2} + {(n - \frac{8}{5})}^{2}}$ =n，解得n=1，

∴P（2，1），

∴N（2，﹣1），

设M（x，y），则 $\frac{x + 2}{2}$ = $\frac{6}{5}$ ， $\frac{y + 1}{2}$ = $\frac{8}{5}$ ，解得x= $\frac{2}{5}$ ，y= $\frac{11}{5}$ ，

∴M（ $\frac{2}{5}$ ， $\frac{11}{5}$ ），

∴MN= $\sqrt{{(2 - \frac{2}{5})}^{2} + {(- 1 - \frac{11}{5})}^{2}}$ = $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$ ，

即△PEF的周长的最小值为 $\frac{8 \sqrt{5}}{5}$

北师大版初中数学2021-2022学年八年级上学期期中测试模拟卷（二）