解：∵A（3，4），△AOC为等腰三角形，OA=

\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5

，

分三种情况：

①当OA=OC时，OC=5，

此时点C的坐标为 $(5 ， 0)$ ， $(- 5 ， 0)$ ；

②当AO=AC时，∵A（3，4），点C和点O关于过A点且垂直于x轴的直线对称，

此时点C的坐标为 $(6 ， 0)$ ；

③当CA=CO时，点C在线段OA的垂直平分线上，

过A作AD⊥x轴，垂足为D，

由题意可得：OD=3，AD=4，AO=5，设OC=x，则AC=x，

在△ACD中，

$4^{2} + {(x - 3)}^{2} = x^{2}$ ，

解得：x= $\frac{25}{6}$ ，

此时点C的坐标为 $(\frac{25}{6} ， 0)$ ；

综上：点C的坐标为： $(6 ， 0)$ ， $(5 ， 0)$ ， $(\frac{25}{6} ， 0)$ ， $(- 5 ， 0)$ ；

北师版数学九年级上册同步训练《6.2 反比例函数的图象与性质》