解：①如图1，当点F在DA上时，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵AD＝2AB＝4，

∴AB＝2，

∴CD＝2，

∵CF＝1，

∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1.

在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，

∴AF＝ $\sqrt{A D^{2} + D F^{2}} = \sqrt{4^{2} + 1^{2}} = \sqrt{17}$ ，

∵DF∥AB，

∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，

∴△GDF∽△GBA，

∴ $\frac{G F}{G A} = \frac{D F}{B A} = \frac{1}{2}$

∵AF＝GF+AG，

∴AG＝ $\frac{2}{3} A F = \frac{2 \sqrt{17}}{3}$

∵△ABE∽△ADF，

∴ $\frac{A E}{A F} = \frac{A B}{A D} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ，

∴AE＝ $\frac{1}{2} A F = \frac{1}{2} \times \sqrt{17}$ ＝ $\frac{\sqrt{17}}{2}$

在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，

∴EG＝ $\sqrt{A E^{2} + A G^{2}} = \sqrt{{(\frac{\sqrt{17}}{2})}^{2} + {(\frac{2 \sqrt{17}}{3})}^{2}} = \frac{5 \sqrt{17}}{6}$ ，

②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，

在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，

∴AF＝ $\sqrt{A D^{2} + D F^{2}} = \sqrt{4^{2} + 3^{2}} = 5$ .

∵DF∥AB，

∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，

∴△AGB∽△FGD，

∴ $\frac{A G}{F G} = \frac{A B}{F D} = \frac{2}{3}$ ，

∵GF+AG＝AF＝5，

∴AG＝2，

∵△ABE∽△ADF，

∴ $\frac{A E}{A F} = \frac{A B}{A D} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ，

∴ $A E = \frac{1}{2} A F = \frac{1}{2} \times 5 = \frac{5}{2}$ ，

在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，

∴EG＝ $\sqrt{A E^{2} + A G^{2}} = \sqrt{{(\frac{5}{2})}^{2} + 2^{2}} = \frac{\sqrt{41}}{2}$ .

综上所述，EG的长为 $\frac{5 \sqrt{17}}{6}$ 或 $\frac{\sqrt{41}}{2}$ .

北师版数学九年级上册《第四章 图形的相似》单元检测B卷

北师版数学九年级上册《第四章图形的相似》单元检测B卷