解：以D为原点，DC为x轴，在平面PDC中过D作CD垂线为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，如图，

则 $D (0 ， 0 ， 0)$ ， $B (2 ， 0 ， 3)$ ， $P (- 2 ， 2 \sqrt{3} ， 0)$ ， $A (0 ， 0 ， 3)$

$∴ \vec{C B} = (0 ， 0 ， 3) ， \vec{P C} = (4 ， - 2 \sqrt{3} ， 0)$

设F（a，b，c），

因为 $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{B P}$ ，

所以（a﹣2，b，c﹣3） $= \frac{1}{3}$ （﹣8，2 $\sqrt{3}$ ，﹣3），

解得a $= \frac{2}{3}$ ，b $= \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，c＝2，

∴F（ $\frac{2}{3}$ ， $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，2）， $\vec{A F} =$ （ $\frac{2}{3} ， \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，﹣1），

设平面PBC的一个法向量 $\vec{n} =$ （x，y，z），

则 ${\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overset{⇀}{C B} = 3 z = 0 \\ \vec{n} \cdot \overset{⇀}{C P} = - 4 x + 2 \sqrt{3} y = 0 \end{array}$ ，取x＝1，得 $\vec{n} =$ （1， $\frac{2}{\sqrt{3}}$ ，0），

设直线AF与平面PBC所成角为θ，

则直线AF与平面PBC所成角的正弦值为：

$\sin θ = \frac{| \overset{⇀}{A F} \cdot \vec{n} |}{| \overset{⇀}{A F} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{2}{\sqrt{\frac{25}{9}} \cdot \sqrt{\frac{7}{3}}} = \frac{6 \sqrt{21}}{35}$ ．

高中数学人教A版（2019） 选修一 空间向量与立体几何

高中数学人教A版（2019）选修一空间向量与立体几何