解：①解方程﹣x²+6x﹣5=0得x₁=1，x₂=5，则A（1，0），∵B（5，0），C（0，﹣5），

∴△OCB为等腰直角三角形，

∴∠OBC=∠OCB=45°，∵AM⊥BC，

∴△AMB为等腰直角三角形，

∴AM=

\frac{\sqrt{2}}{2}

AB=

\frac{\sqrt{2}}{2}

×4=2

\sqrt{2}

，

∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，

∴PQ=AM=2 $\sqrt{2}$ ，PQ⊥BC，

作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，则∠PDQ=45°，

∴PD=

\sqrt{2}

PQ=

\sqrt{2}

×2

\sqrt{2}

=4，

设P（m，﹣m²+6m﹣5），则D（m，m﹣5），

当P点在直线BC上方时，

PD=﹣m²+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m²+5m=4，解得m₁=1，m₂=4，

当P点在直线BC下方时，

PD=m﹣5﹣（﹣m²+6m﹣5）=m²﹣5m=4，解得m₁=

\frac{5 + \sqrt{41}}{2}

，m₂=

\frac{5 - \sqrt{41}}{2}

，综上所述，P点的横坐标为4或

\frac{5 + \sqrt{41}}{2}

或

\frac{5 - \sqrt{41}}{2}

；

②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M₁，交AC于E，如图2，

∵M₁A=M₁C，∴∠ACM₁=∠CAM₁，∴∠AM₁B=2∠ACB，

∵△ANB为等腰直角三角形，

∴AH=BH=NH=2，

∴N（3，﹣2），易得AC的解析式为y=5x﹣5，E点坐标为（

\frac{1}{2}

，﹣

\frac{5}{2}

，

设直线EM₁的解析式为y=﹣ $\frac{1}{5}$ x+b，

把E（

\frac{1}{2}

，﹣

\frac{5}{2}

）代入得﹣

\frac{1}{10}

+b=﹣

\frac{5}{2}

，解得b=﹣

\frac{12}{5}

，

∴直线EM₁的解析式为y=﹣ $\frac{1}{5}$ x﹣ $\frac{12}{5}$

解方程组 ${\begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} y = x - 5 \\ y = - \frac{1}{5} x - \frac{12}{5} \end{matrix}$ 得 ${\begin{matrix} \end{matrix} \begin{matrix} x = \frac{13}{6} \\ y = - \frac{17}{6} \end{matrix}$ ，则M₁（ $\frac{13}{6}$ ，﹣ $\frac{17}{6}$ ）；

作直线BC上作点M₁关于N点的对称点M₂，如图2，则∠AM₂C=∠AM₁B=2∠ACB，

设M₂（x，x﹣5），

∵3= $\frac{\frac{13}{6} + x}{2}$

∴x= $\frac{23}{6}$ ，

∴M₂（ $\frac{23}{6}$ ，﹣ $\frac{7}{6}$ ）.

综上所述，点M的坐标为（

\frac{13}{6}

，﹣

\frac{17}{6}

）或（

\frac{23}{6}

，﹣

\frac{7}{6}

）

河南省中考数学真题模拟题分类卷3 坐标与函数综合（近几年）