连接

C G

、

B E

，

∵ $∠ C A G = ∠ B A E = 90 °$ ，

∴ $∠ C A G + ∠ B A C = ∠ B A E + ∠ B A C$ ，即 $∠ G A B = ∠ C A E$ ，

在 $△ G A B$ 和 $△ C A E$ 中， ${\begin{array}{l} A G = A C \\ ∠ G A B = ∠ C A E \\ A B = A E \end{array}$ ，

∴ $△ G A B ≌ △ C A E (S A S)$ ，

∴ $∠ A B G = ∠ A E C$ ，又 $∠ A E C + ∠ A M E = 90 °$ ，

∴ $∠ A B G + ∠ A M E = 90 °$ ，即 $C E ⊥ B G$ ，

∴四边形 $C G E B$ 是垂美四边形，

由(2)得， $C G^{2} + B E^{2} = C B^{2} + G E^{2}$ ，

∵ $A C = 4$ ， $A B = 5$ ，

∴ $B C = 3$ ， $C G = 4 \sqrt{2}$ ， $B E = 5 \sqrt{2}$ ，

∴ $G E^{2} = C G^{2} + B E^{2} - C B^{2} = 73$ ，

∴ $G E = \sqrt{73}$ .

北师版数学九年级上册同步训练《1.3 正方形的性质与判定》