如图，连接

B M

，

$∵ B C = 10 ， C M = \frac{1}{2} C D = 5$ ，

$∴ B M \leq B C + C M = 15$ ，当且仅当点 $B ， C ， M$ 共线时，等号成立，

如图，过点 $D$ 作 $D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，过点 $M$ 作 $M N ⊥ A B$ 于点 $N$ ，则 $M N$ 即为所求，

$∵ B C = C D = 10 ， C M = 5$ ，

$∴ B D = B C + C D = 20 ， B M = B C + C M = 15$ ，

设 $A E = x$ ，则 $B E = 20 - x$ ，

$∵ A D^{2} - A E^{2} = D E^{2} = B D^{2} - B E^{2}$ ，

$∴ 10^{2} - x^{2} = 20^{2} - {(20 - x)}^{2}$ ，

解得 $x = \frac{5}{2}$ ，

$∴ B E = 20 - x = \frac{35}{2}$ ， $D E = \sqrt{B D^{2} - B E^{2}} = \frac{5 \sqrt{15}}{2}$ ，

在 $R t △ B D E$ 中， $\sin B = \frac{D E}{B D} = \frac{\frac{5 \sqrt{15}}{2}}{20} = \frac{\sqrt{15}}{8}$ ，

在 $R t △ B M N$ 中， $M N = B M \cdot \sin B = 15 \times \frac{\sqrt{15}}{8} = \frac{15 \sqrt{15}}{8}$ ，

即当点 $M$ 与点 $B$ 距离最大时，点 $M$ 到 $A B$ 的距离为 $\frac{15 \sqrt{15}}{8}$ ；

河北省中考数学真题汇编（近几年） 4 图形的性质