解：①如图2，

∵△AEF≌△PEF，

∴AE＝EP.

又∵AE＝BE ，

∴BE＝EP，

∴∠EPB＝∠B＝45°，

∴∠AEP＝90°.

②如图3，

由（1）可知：在Rt△ADC中， $A C = \frac{A D}{\sin 60 °} = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ .

∵PF⊥AC，

∴∠PFA＝90°.

∵△AEF≌△PEF，

∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B.

又∵∠EAF＝∠CAB，

∴△EAF∽△CAB，

∴ $\frac{A F}{A B}$ ＝ $\frac{A E}{A C}$ ，即 $\frac{A F}{4 \sqrt{2}}$ ＝ $\frac{2 \sqrt{2}}{\frac{8 \sqrt{3}}{3}}$ ，

∴AF＝ $2 \sqrt{3}$ ，

在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝ $\sqrt{2} A F$ ＝ $2 \sqrt{6}$ .

初中数学华师大版九年级上学期第24章 解直角三角形 单元测试

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