解：①如图2中，过点

P

作

P H ⊥ A E

于

H

．

$∵ P A = \sqrt{2} t$ $c m$ ， $Δ A P H$ 是等腰直角三角形，

$∴ A H = P H = t$ ，

$∴ E H = \sqrt{3} P H = \sqrt{3} t$ ，

$∴ t + \sqrt{3} t = 4 + 2 \sqrt{3}$ ，

$∴ t = (\sqrt{3} + 1) s$ ．

②如图3中，过点 $Q$ 作 $Q T ⊥ A E$ 于 $T$ ．

$∵$ 四边形 $A P Q B$ 是平行四边形，

$∴ ∠ Q B E = ∠ C A B = 45 °$ ，

$∵ ∠ Q T B = 90 °$ ，

$∴ B T = Q T$ ，

设 $T E = x$ $c m$ ，则 $Q T = B T = \sqrt{3} x$ $c m$ ，

$∴ x + \sqrt{3} x = 2 \sqrt{3}$ ，

$∴ x = 3 - \sqrt{3}$ ，

$∴ Q T = (3 \sqrt{3} - 3) (c m)$ ，

$∴$ 平行四边形 $A P Q B$ 的面积 $= A B \cdot Q T = 4 \times (3 \sqrt{3} - 3) = (12 \sqrt{3} - 12) (c m^{2})$

上海市长宁区2020-2021学年八年级下学期数学期末试卷