设平面SAM的法向量为

\vec{m} = (x ， y ， z)

，

由 ${\begin{matrix} \vec{m} \cdot \overset{⇀}{A S} = 0 \\ \vec{m} \cdot \overset{⇀}{S C} = 0 \end{matrix}$ ，得 ${\begin{matrix} - \sqrt{2} x + 2 z = 0 \\ 2 y - 2 z = 0 \end{matrix}$ ，化简得 ${\begin{matrix} x = \sqrt{2} z \\ y = z \end{matrix}$ ，

令 $z = 1$ ，得 $\vec{m} = (\sqrt{2} ， 1 ， 1)$ ；

设平面AMB的法向量为 $\vec{n} = (x' ， y' ， z')$ ，

由 ${\begin{matrix} \vec{n} \cdot \overset{⇀}{A B} = 0 \\ \vec{n} \cdot \overset{⇀}{B M} = 0 \end{matrix}$ ，得 ${\begin{matrix} 2 y' = 0 \\ - \sqrt{2} x' - y' + z' = 0 \end{matrix}$ ，化简得 ${\begin{matrix} z' = \sqrt{2} x' \\ y' = 0 \end{matrix}$ ，

令 $x' = 1$ ，得 $\vec{n} = (1 ， 0 ， \sqrt{2})$ ；

$\cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = \frac{\sqrt{2} + 0 + \sqrt{2}}{2 \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，

∴二面角 $S - A M - B$ 的正弦值为 $\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{6}}{3})}^{2}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

天津市红桥区2020-2021学年高一下学期期末数学试题