解：∵直线OB的解析式为y=x，且A（3，0），

∴点A关于直线OB的对称点A′的坐标是（0，3），

根据轴对称性质和三线合一性质得出∠A′BO=∠ABO，

设直线A′B的解析式为y=k₂x+3，过点（4，4），

∴4k₂+3=4，解得：k₂= $\text{[math]}$ ，

∴直线A′B的解析式是y= $\text{[math]}$ ，

∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，

∴BA′和BN重合，

即点N在直线A′B上，

∴设点N（n， $\text{[math]}$ ），又点N在抛物线y=x²﹣3x上，

∴ $\text{[math]}$ =n²﹣3n，

解得：n₁=﹣ $\text{[math]}$ ，n₂=4（不合题意，舍去）

∴N点的坐标为（﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

方法一：

如图1，将△NOB沿x轴翻折，得到△N₁OB₁ ，

则N₁（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），B₁（4，﹣4），

∴O、D、B₁都在直线y=﹣x上．

∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁ ，

∴△P₁OD∽△N₁OB₁ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴点P₁的坐标为（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．

将△OP₁D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），

综上所述，点P的坐标是（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

方法二：

如图2，将△NOB绕原点顺时针旋转90°，得到△N₂OB₂ ，

则N₂（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），B₂（4，﹣4），

∴O、D、B₁都在直线y=﹣x上．

∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₂OB₂ ，

∴△P₁OD∽△N₂OB₂ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∴点P₁的坐标为（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

将△OP₁D沿直线y=﹣x翻折，可得另一个满足条件的点P₂（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），

综上所述，点P的坐标是（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．

方法三：

∵直线OB：y=x是一三象限平分线，

∴A（3，0）关于直线OB的对称点为A′（0，3），

∴ $\text{[math]}$ 得：x₁=4（舍），x₂=﹣ $\text{[math]}$ ，

∴N（﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），

∵D（2，﹣2），∴l_OD：y=﹣x，

∵l_OD：y=x，

∴OD⊥OB，

∵△POD∽△NOB，

∴N（﹣ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）旋转90°后N₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）或N关于x轴对称点N₂（﹣ $\text{[math]}$ ，﹣ $\text{[math]}$ ），

∵OB=4 $\text{[math]}$ ，OD=2 $\text{[math]}$ ，

∴ $\text{[math]}$ ，

∵P为ON₁或ON₂中点，

∴P₁（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），P₂（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）．

全国历年中考数学真题精选汇编：二次函数1