解：过点

A

作

A S ⊥ K F

交

F K

延长线于点

S

，

∵ $E F ⊥ K F$

∴ $∠ A S F = ∠ A E F = ∠ E F S = 90 °$ ，

∴四边形 $A S F E$ 是矩形， $A E = E F$

∴四边形 $A S F E$ 是矩形．

∵ $∠ G K F + 2 ∠ A K G = 180 °$

∴ $∠ A K G = ∠ A K S$

∴ $∠ K A T = ∠ K A S$ ，

过点 $A$ 作 $A T ⊥ G K$ 于点 $T$ ，

∴ $A S = A T = A E$

∴ $∠ A G Q = ∠ A G K$ ， $∠ A E F = ∠ A T G = 90 °$

∴ $∠ E A G = ∠ G A T$

∴ $2 ∠ T A G + 2 ∠ K A T = 90 °$ ， $∠ K A G = 45 °$ ， $Q M ⊥ x$ 轴， $∠ Q M G = ∠ K M G = 90 °$

∴ $Δ Q G M ≌ Δ G M K$ ， $Q M = K M$ 连接 $A Q$ ， $A M = A M$

∴ $Δ A Q M ≌ Δ A M K$ ， $∠ K A G = ∠ Q A M = 45 °$

设点 $Q (m ， m^{2} - 2 m - 3)$ ，解得 $\tan ∠ Q A M = \frac{Q M}{A M} = \frac{m^{2} - 2 m - 3}{m + 1} = 1$

解得 $m_{1} = - 1$ （舍）， $m_{2} = 4$ ， $y_{Q} = 5$ ，

$\tan ∠ Q N E = \frac{E N}{Q N} = \frac{M G}{M Q}$ ， $\frac{E N}{M G} = \frac{3}{5}$

设 $E N = L M = 3 a$ ， $M G = 5 a$ ， $L G = 2 a$ ， $A L = 5 + 3 a$ ， $\tan ∠ E A L = \tan ∠ L E G$

∴ $E L^{2} = A L \cdot L G 4 = 2 a (5 + 3 a)$

解得 $a_{1} = - 2$ （舍） $a_{2} = \frac{1}{3}$

∴ $E N = 1$ ， $∠ N Q E = ∠ E A M$ ， $\tan ∠ N Q E = \tan ∠ E A M = \frac{1}{3}$

∴ $t - 3 = \frac{1}{3}$ ， $t = \frac{10}{3}$ ， $d = 6 - \frac{10}{3} = \frac{8}{3}$

黑龙江省哈尔滨市平房区2021年中考数学三模试卷